高中数学可视化教学：原则、途径与策略①——基于GeoGebra平台

张志勇

(江苏省常州市第五中学 213001)

直击当下数学依然难教、难学的痛点，可视化无疑是一重要选项和可行策略．这自然得益于现代科学技术特别是计算机科学、人工智能的迅猛发展，为改进“一支笔一块黑板一张嘴”的教与学现状提供极大可能；而数学所以高冷，恰在于其固有的高度抽象概括性(难以被感官直接感知)，使得学数学的人往往不知数学如何去意会，教数学的人往往不知数学如何去言传．于是，挖掘技术于数学的表征优势，建立“可见形式”与“抽象形式”之间的直接联系，使数学的关联性变得可见并且可操作，可以突破“意会”与“言传”间的交流障碍，为学生理解概念创设背景，为学生探索规律启发思路，为学生解决问题提供直观.

1 可视化与GeoGebra

图1 数学公式的可视化表达

应用丰富多样的视觉表征手段(图形、图像、动画等)和视觉认知辅助工具(思维导图、知识地图等)，以形象直观的方式呈现数学对象的本质属性、基本特征及数学对象间的关系网络，构建新知识与已有知识网络间的多元联系“通道”，可以保证符合学生认知经验的教学内容经由相应的教学活动内化为学生认知结构，帮助学习者更好的理解数学、发现数学、建构数学．一图胜千文，可视化教学的关键在于如何以可视化技术创设直观情境，不仅需要沟通新旧知识间的内在联系，更重要的任务在于以可视引导思维、以互动交流思维.

让数学的关联性变得可见、可操作，离不开数学可视化技术这一“云梯”的支持．GeoGebra作为一款集几何作图、代数运算和数据处理等于一体的动态数学学科软件，可以为我们带来更方便快捷的数学教学：通过图形与代数(方程或坐标等)的同步变化，使得对图形的研究更加精细和科学化，实现“形”(几何Geometry)与“数”(代数Algebra)的完美融合；计算代数系统和指令输入可提供更为丰富的教学素材、更为生动的动态演示过程，如，直接在命令框里输入方程式、点坐标或其它命令来实现图形的更改，也可进行向量复数运算、函数的微分积分、方程不等式求解等各种代数运算；而代数区、工作表、运算区、3D绘图区、绘图区、绘图区Ⅱ等多个模块区域间的关联互动，保证其可视化应用几乎覆盖整个高中数学教学领域．一句话，“懂得GeoGebra，她就给你独到眼光，让你洞悉数学世界”.

2 可视化教学的实施原则

可视化教学的要义在于对抽象概念的具象化呈现，以启迪学习者认识数学本质特性、主动构建知识框架、激活探究思维意识，如何开展可视化教学，离不开一些基本原则的遵循.

2.1 信息组块原则：避免冗余效应

可视化教学依托视觉表征优势，借助于图像、影像和动画等视觉符号对数学对象进行有意义封装，相比文字符号等更具体、更直观、更富有表现力，可以在有限时间内获取尽可能多的数学信息(这也是“读图时代”产生的真实背景)，当然过于繁杂的图象恰会引发视觉疲劳．如何降低认知负荷，一方面要注重可视化效果，如曲线的动与静、色彩的宁静与和谐、构图元素的疏密相间和错落有致等；更为重要的恰是对可视化内容进行“信息组块”设计，要结合具体内容的分析，将多元表征方式进行合理的调配组合[3].

如在探究导数几何意义的过程中(图2)，几何操作区域的图象呈现，表格数据区域的代数值显示，形成两个相互关联的“信息块”，有助于学习者实现从代数到几何的过渡、从动态到静态的转译，不仅可以认识“切线的存在性”，更可形成“局部以直代曲”的数学观念.

图2 导数的几何意义探究

2.2 多元联系原则：促进深度学习

由于数学学习内容的复杂性，单一表征往往难以充分揭示数学本质，于是对问题不能做出适宜的表征、不能在多种表征之间进行转换，便是造成学生数学学习困难的一个重要原因．综合图形、符号、语言、情境等多种形式的表征，有利于学生加深对数学知识的理解、构建良好的知识结构、形成最优化的解题策略；当然表征系统间的转换与转译并不容易发生，要想发挥多元表征的优势，需要建立各种表征间的有意义联系，使得外在的数学符号系统内化为内在数学符号系统.

如在对祖暅原理进行可视化呈现时(图3)，3D绘图区的立体图形可帮助学生整体把握，平面视图中的数值刻画恰可让我们的观察细致入微，两者间的联系互动可有效推进“幂势相同，则积不容异”深度学习.

图3 祖暅原理的可视化演示

2.3 动态探究原则：推动思维深化

复杂的数形关系和多变的几何位置关系是数学学习的一大难点，因此需要构建动态联系的视觉化情境，让学生在动态演示中找寻规律．事实上，动态联系的表征，精细描绘了表征的信息元素与整体的关系，使信息元素的交互及其结构关系凸显，在引发学生选择性注意的同时，促进表征系统的相互转换与转译，实现思维的跳跃性和缜密性的完美结合．动态探究原则要求建立形与数的动态联系，在数学问题的直观模型的构建中探索问题解决的思路和方案，从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，核心素养正是在问题情境中借助问题解决的实践培育起来的.

3 可视化教学的实施途径

数学学习离不开概念生成、命题发现和问题解决，而可视化教学通过这三个途径的实施恰能体现信息组块、多元联系、动态探究原则的应用.

3.1 概念生成中的可视化

概念是数学思维方式建构或转变的基石，核心概念更是数学教学的重大关切．数学概念往往有多种表征方式，不同的表征将导致不同的思维方式，概念多元表征可以促进学生的多角度理解，在不同的表征系统中建立概念的不同表征形式，并在不同表征系统之间进行转换训练，可以强化学生对概念联系性的认识，建立概念不同表征间的广泛联系，并学会选择、使用与转化各种数学表征，这是有效使用概念解决复杂、综合问题的前提.

如高中阶段的任意角的三角函数，一方面要突破初中概念中已有的锐角三角函数的认知障碍(思维定势)，同时还要构建与角的终边上任意一点的联系；于是创设图4所示的可视化实验情境，从任意角与锐角三角函数的冲突入手，在角的动态变化中形成以点的坐标来定义三角函数的基本思路，并通过坐标度量结果来考察验证定义的合理性和可行性，继而改变点在终边上的相对位置以求达成“用点来定义却与点的位置无关”的认同，而三角函数线的表征刻画恰可“晓之以理”.

图4 三角函数的概念生成

从上例可以发现，数学概念的掌握要经过一个由生动的直观到抽象的思维，再从抽象的思维到实际的应用的过程，甚至要有几个反复才能实现．借助概念的直观背景，对抽象概念进行可视化表征，用丰富的样例使概念获得“原型”支持，形成概念的“模式直观”，经历概念形成的“原始”过程，因概念的充分加工而保证理解的深刻.

3.2 命题发现中的可视化

数学命题是表示数学对象性质或关系的判断语句，其独特的“条件—结论”式语言结构，是一种逻辑刻画数学对象的形式或方法，将命题置于数学发生发展的背景下，有助于学生知晓数学的来龙去脉、数学思想的变迁原委．命题的学习过程就是命题的逻辑意义向个体心理意义转化的过程，以符号表征学习和概念学习为前提；于是需要“析理以辞，解体用图”，要对命题进行言语和意象双重编码，要尽可能编织成网络状，形成一定的结构图式，树立整体结构观，从而有利于知识的有序检索和综合融会贯通，这正是命题关联性特征的体现.

如，笔者从2016年四川卷20题的解法分析入手，借助GeoGebra揭示其清晰的几何直观、动态的变换方式和深刻的数学背景，并以仿射变换的方式，实现圆的几何性质在圆锥曲线中的自然引申推广，在试题源与流的探寻中构建了一个命题网络，在这个命题网络中，既有横向的类比推理(从圆的切割线定理探索圆锥曲线中的定值规律)，也有纵向的归纳思考(从椭圆切割线定理、相交弦定理探索定值背后蕴涵的幂定理，整合得到圆锥曲线幂定理)；既有从试题解读到圆中定理的联想，也有定向制约条件的猜测修正；既有强抽象(从幂定理到切割线定理)，也有弱抽象(将椭圆幂、抛物线幂中的定向参照弱化得到圆锥曲线幂)．这种高难度的数学探寻，离开可视化技术的支持显然是很难想象的，所谓“有图有真相”，技术在帮助我们“插上想象的翅膀”的同时，也在刻画数学发生、发展的完整过程中，促成学生完整的认知图式的形成.

图5 仿射变换推广圆幂定理

3.3 问题解决中的可视化

问题解决(解题教学)是数学课堂教学的重要环节，一方面学生对数学概念的理解和掌握往往通过解题来表达和完善，另一方面数学问题也是展现数学方法和能力、锤炼数学思维的重要载体，而解题策略的获取、解题观点的提升、思维层次的优化更让解题教学的价值得以彰显﹒当然帮助学生掌握问题的数形特征，探索已知条件和要解决的问题之间的内在逻辑联系和因果关系，找寻解题途径、发现解题方向，形成合乎逻辑、层次分明、严谨规范的表述等，都离不开可视化策略的支持.

图6 向量数量积的求解

4 可视化教学的实施策略

构建“所见即所得”的学习情境，形成数学“可见形式”与“抽象形式”之间的直接联系通道，无疑可以为改善数学的教与学提供极大可能；但我们也应注意到，可视化只是手段和工具，重要的是从促进学生对数学本质的认识和数学思想方法的感悟角度去实施可视化.

4.1 控制认知负荷，实现减负增效

有限容量的工作记忆系统是认知加工的瓶颈，可视化教学中所传递的视觉表征信息容易出现“超载”．于是，我们一方面需要优化数学内容的信息结构，将复杂任务的信息元素进行有效分解、重新编码，整合成组块或丰富的信息单元，即降低外在和内在负荷；同时要促进学生对可视化素材的数学加工，经历图式建构过程促进图式的自动化，从而增加有效负荷；因为长时记忆系统能够贮存无限的图式，而图式既可便于工作记忆提取、帮助工作记忆加工新信息，又可直接驱动行为．通过“减负增效”(降低外在负荷、内在负荷和增加有效负荷)的方式，可产生好的可视化学习结果.

4.2 关注知识境脉，提升教师TPACK

真正影响教学效益的，并非可视化技术本身，而是可视化环境下数学教师的教学知识(TPACK)，是可视化技术、数学内容、教学方法三者的融合．于是我们需要对技术融入教学的境脉(Context)及复杂性保持敏感，充分考虑具体内容的教学及课堂情境，始终围绕可视化技术与学科教学知识的复杂互动来设计开放式的、灵活的任务，通过丰富多样、层层递进的活动设计帮助学生积累足够的原初经验；同时要树立“教与学对应”和“教与数学对应”的观念，从促进学生的学、促进学生对数学本质的认识和数学思想方法的感悟出发去实施可视化教学，以培养学生思维的广度和深度，这方面可以考虑的方向包括：以可视引导思维、启迪学习者认识数学对象的本质特性，以互动交流思维、引导学生主动构建知识结构等.

4.3 重视可视局限，推动适度平衡

经过可视化加工的数学内容生动形象、浅显易懂，自然可以促进学生的数学理解，但过度的可视化却会扼杀学生的想象，阻碍学生的思维层次从直观走向抽象，因为学生对图形、图象的依赖心理容易形成思维的惰性和单线性．因此，可视化教学中，既要有可视化也要有数学化，既要有观察猜想也要有演绎证明，如图5中，当学生借助可视化情境得出规律后，需要有严格的数学证明跟进，我们需要在直观和抽象间、可视化的认知情境与纸笔运算、逻辑推理间建立一种适度的平衡，可视化教学提倡“返璞”但更要“归真”.

开展可视化教学，让学生有机会经历从具体到抽象的过程，可以既“看到”背后的“数据”、更“看透”其中的数学“内容”，而数学的眼光、数学的语言、数学的思维恰可蕴涵其中；可视化教学，不仅仅是技术和数学内容的整合，更是数学内容表达传递方式的变革；不仅是解决问题，更是让学生将更多的精力集中在高层次的数学思考和问题解决上.