基于二次曲线交点问题的命题与解题——一道2016年浙江卷高考题的变式研究

厦门大学附属实验中学 (363123) 吴赛瑛

解析几何，又叫做坐标几何，早先也被称作笛卡尔几何，是使用代数方法进行研究的几何学.解析几何的本质是用代数的方法研究图形的几何性质.本文自一道2016年浙江卷的高考题的解答出发，从函数的视角对试题进行分析解答，并通过对试题进行变式，来谈二次曲线交点问题的命题与解题.

1.试题及解答展示

(Ⅰ)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a、k表示)；

(Ⅱ)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.

(Ⅱ)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点Ρ，Q，满足|AP|=|ΑQ|．记直线AP，ΑQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k2>0，k1≠k2．

2.试题分析与另解

参考解答利用椭圆的对称性及圆的半径长为定值，巧妙的将四个交点的问题转化为线段长相等，继而利用弦长公式进行列恒等关系，讨论方程解的存在性进行解题.本题有个特殊的条件——圆心在椭圆上，方便了条件的转化.解曲线的交点问题的通常方法是联立方程组，利用方程解存在性及个数来进行分析交点的存在性及个数.利用联立方程组解二次曲线间的交点问题，不需要用到圆心在二次曲线上的特殊条件，但应该注意二次曲线变量的有界性，防止增根的出现.下面函数与方程的视角给出本题第(II)问的解答.

另解:设圆的方程为x2+(y-1)2=r2(r>0)，假设存在圆与椭圆的公共点有4个.

设f(y)=(1-a2)y2-2y+1+a2-r2，②

要使得圆与椭圆的公共点有4个，则存在r使得方程①在区间(-1,1)有两解，也就是存在r使函数②在区间(-1,1)有两个零点，因为1-a2<0，即存在r满足条件

3.试题变式及解答

解: 设圆的方程为(x-2)2+y2=r2(r>0)，假设存在圆与双曲线右支的公共点有4个.

(1+b2)x2-4x+4-b2-r2=0，①

设f(x)=(1+b2)x2-4x+4-b2-r2，②

要使得圆与双曲线的公共点有4个，则存在r使得方程①在区间(1,+∞)有两解，也就是存在r函数②在区间(1,+∞)有两个零点，

由此知，当b2<1时，存在r使得③式成立，即存在圆与双曲线右支有4个公共点，因此，任意以点A(2,0)为圆心的圆与双曲线右支至多有3个公共点的充要条件为b>1.

变式2 设抛物线y2=2px(p>0),若任意以点A(1,0)为圆心的圆与抛物线至多有3个公共点，求p的取值范围.

解:设圆的方程为(x-1)2+y2=r2(r>0)，假设存在圆与抛物线的公共点有4个.

设f(x)=x2+(2p-2)x+1-r2，②

1-(1-p)2

当p<1时，有1-(1-p)2<1.

由此知，当p<1时，存在r使得③式成立，即存在圆与抛物线右支有4个公共点.

因此，任意以点A(1,0)为圆心的圆与双曲线右支至多有3个公共点的充要条件为p>1.