椭圆共轭直径的几个充要条件───几道高考题的启示

重庆市第八中学校 (400030) 李长江 罗 毅

我们知道经过椭圆E:b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)(以下文中的椭圆E均指此椭圆)中心的弦AC称为椭圆的直径.

特别地,若一直径所在的斜率为0,另一条直径的斜率不存在时,也称这两直径为共轭直径.

笔者在翻阅近几年的高考题时,其中2015上海卷理科21题的第(Ⅱ)问与2011年山东卷理科22题第(Ⅰ)问引起笔者极大的兴趣.原题节选如下：

图1

将上述两结论结合起来,不难发现kAC·kBD=

笔者经过一番探究,肯定了自己的猜想,得到了如下结论:

图2

(充分性)记AB所在的直线为l.

第二种情形:当l的斜率存在时,不妨设l:y=kx+m,联立直线l与椭圆E的方程可得

(a2k2+b2)x2+2a2kmx+a2(m2-b2)=0①,则

Δ=4a2b2(a2k2+b2-m2)>0②,x1+x2=

(必要性)显然成立.

(1)求椭圆的离心率;

根据结论2的证明过程,易证如下结论：

图3

(1)求该椭圆的标准方程;