一道高考题探究出抛物线焦点弦几个结论

山东省聊城大学数学科学学院 (252000) 张 鑫 于兴江

抛物线的焦点弦问题，一般采用韦达定理，采取设而不求.本文以2017年全国高考理科I卷第10题为例，利用几何画板探究了抛物线中焦点弦的几个结论.

2017年全国高考(理)Ⅰ卷第10题：已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A,B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为( ).

我们利用几何画板探究得到.

定理1 已知F为抛物线C：y2=2px的焦点，过F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A,B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为8p.

图1

设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，D(x3,y3)，E(x4,y4)，

注:2017年全国高考(理)Ⅰ卷第10题中抛物线C的方程为y2=4x，即p=2时，F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A,B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为16.

图2

定理2 已知F为抛物线C：y2=2px的焦点，过F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A,B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|·|DE|的最小值为16p2.

定理3 已知F为抛物线C：y2=2px的焦点，过F的直线l交抛物线于A、B两点，A、B两点在抛物线准线上的射影为A1、B1，连接A1B与AB1，则A1B与AB1经过原点.

图3

y2-2pky-p2=0.

图4

设点A(x1,y1)，B(x2,y2),由韦达定理得，

圆锥曲线问题是高中重点数学知识，也是高考必考题之一,学生可以通过一道圆锥曲线的题目探究出圆锥曲线的一类问题,本文以探究抛物线的焦点弦问题为例，逐步培养学生的创新意识,提高探索及解决问题的能力.