基于Matlab的塑料破碎机带传动多目标优化设计

朱文波

（广东华天成新能源科技股份有限公司，广东 佛山 528300）

塑料破碎机是实现塑料循环经济的重要设备，由于冲击载荷较大、传动距离较远、传动功率较大，一般采用V带实现驱动电机与剪切刀盘之间的机械传动［1］；目前塑料破碎机产品升级与更新换代较快，在机械传动方面，需要在满足承载能力的前提下机械结构尽量紧凑，即要求减小V带传动中的带轮尺寸和传动中心距、并减少传动带根数［2］。

该问题属于机械设计中的多目标优化设计问题，许多学者已经做了广泛研究，例如袁康［3］、覃金彩［4］以带轮质量及带轮中心距为目标，分别对输送机、鼓风机的V带传动进行了多目标优化设计，李晓靖［5］提出一种高斯变异多目标差异演化算法，研究V带传动的几个目标函数之间的关系，耿海珍［6］等基于VC++语言编程，采用复合形法对输送机V带传动进行优化设计。

本文利用Matlab软件的fgoalattain优化函数，以小带轮直径、带轮中心距和传动带根数为目标，以小带轮直径和V带基准长度为设计变量，建立多目标优化模型，优化计算得到V带传动的最优解。

1 主要参数计算

已知三相交流异步电动机的额定功率为11 kW，电机额定转速为1 450 rpm，采用普通A型V带传动，要求减速传动后的剪切刀盘转速不超过500 rpm，据此可选择传动比为3，每天工作小时数小于10 h，考虑到塑料断裂造成较大的负载冲击，查表可确定工作情况系数KA为1.3。主要参数计算如下［7］：

1）带轮直径。

小轮的基准直径d1应大于等于最小基准直径dmin，A型普通V带的最小基准直径为75 mm。

大轮的基准直径：

式中，i为传动比，ε为滑动率。

2）带轮中心距。

3）带的根数。

式中，PN为电机额定功率；P0为单根V带额定功率，可通过与小带轮基准直径、小带轮转速相关数据表进行拟合得到与d1关系，进而计算得到；ΔP0为单根V带额定功率的增量，也可根据带的类型、小带轮转速以及传动比查表获得；Kα为包角系数，可通过与包角相关数据表进行拟合得到与包角α关系，并计算得到；KL为长度系数，可通过与V带基准长度相关数据表进行拟合得到与基准长度Ld关系后计算得到。

2 Matlab多目标优化函数

Matlab软件的优化工具箱可求解两类多目标优化问题：目标达到问题和最小最大问题，分别采用的优化函数fgoalattain和fminimax，前者需要给出各分目标期望值，并根据分目标期望值定义各分目标的权重，后者无需给出分目标期望值，且将各分目标的权重视为相等，在迭代过程中使各分目标函数值的最大值逐次减小。

在解题过程中经常思路全无，如何寻找思路？需基于条件利用尺规构图，构图的过程是对条件充分分析的过程，从而明白条件是什么、问题是什么、不变的是什么，最终觅得解题思路.如何经历构图过程寻觅解题思路？需要明晰“构什么、怎么构、构与解的关系是什么”这三个问题.

本文采用优化函数fgoalattain进行优化设计，其格式如下：

式中，x为返回目标函数的最优解；fval为返回目标函数的最优值；attainfactor为返回优化求解的达到率；output为优化算法信息的一个数据结构；fun为目标函数文件名；x0为设计变量的初始值；goal为各分目标的期望值；weight为各分目标的权重；A为线性不等式约束的常数向量；b为线性不等式约束的系数矩阵；Aeq为线性等式约束的常数向量；beq为线性等式约束的系数矩阵；lb为设计变量的下限值；ub为设计变量的上限值；nonlcon为非线性约束的函数文件名。

优化函数fgoalattain一般放在优化计算主文件中，通过fun和nonlcon调用目标函数和约束条件。

3 V带传动多目标优化模型

1）优化模型。

Matlab目标达到问题的多目标优化模型为：

式中，X为设计变量向量，F（X）为目标函数，weight为各分目标函数权重向量，goal为各分目标函数期望值向量，γ为各分目标的达到率，为（优化值-期望值）/期望值的百分比，c（X）、ceq（X）为可返回向量的函数；该多目标优化模型可理解为使各分目标达到期望值的达到率尽量小。

2）设计变量。

参考V带设计计算，选择小带轮直径d1和V带基准长度Ld为设计变量，即：

选择小带轮直径为第一个分目标函数，即：

选择带轮中心距为第二个分目标函数，根据式（2）有：

其中，a为设计变量x1和x2的函数。

选择带的根数为第三个分目标函数，根据式（3）有：

其中，z也为设计变量x1和x2的函数。

因此，目标函数可表达为：

其中，wi为各分目标的权重，一般可取为各分目标期望值的绝对值，即：

4）约束条件。

根据带速不超过最大带速vmax，有：

式中，nN为电机额定转速。

根据小带轮包角不小于最小包角αmin，有：

根据中心距与小带轮直径约束关系，有：

本优化模型中没有A、b、Aeq和beq等线性不等式和等式约束。

4 计算案例

根据设计要求，确定分目标小带轮直径、带轮中心距和传动带根数的期望值为goal=［160，750，4］；根据V带设计规范，确定设计变量的边界条件为75≤x1≤450、800≤x2≤6 300；根据带轮设计规范，确定最大带速vmax为25 mm/s、小带轮最小包角αmin为 120 °。

在Matlab中编写优化计算主文件、目标函数文件Optimal_Obj和约束条件文件Optimal_Cons，在主文件中通过fgoalattain调用目标函数与约束条件，求解得到的分目标最优值与期望值如表1所示，其中小带轮直径与传动带根数属于过达到，带轮中心距属于欠达到，从数值而言，该达到率较好。

表1 分目标最优值与期望值

求解得到的小轮基准直径为178.62 mm，圆整后为180 mm，V带基准长度为2 240.6 mm，圆整后为2 240 mm，带轮中心距为529 mm，传动带根数圆整后为4根，进而计算得到大轮基准直径（圆整后）为530 mm，小轮包角为141 °，带速为14 m/s。

优化设计后的V带传动比为2.944，剪切刀盘的转速为492 rpm，不超过要求的500 rpm，小带轮包角为141 °，大于最小包角120 °，带速为14 m/s，小于最大带速25 m/s，该优化计算结果符合设计要求。