求解简单多面体外接球问题的策略

陈土树

【摘 要】简单多面体外接球的问题经常在各类考试中屡见不鲜，是有关球的问题的常见题型。它考查了学生核心素养之数学抽象思想方法，更考查学生化归转化的思想方法。本文力争在求解简单多面体外接球问题上，引导学生根据题设条件化归转化，有的建构模型，有的从性质出发，培养学生的数学抽象素养，提升了学生的化归转化能力。

【关键词】简单多面体；外接球；数学抽象；化归与转化

数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。高中数学中重要思想方法有很多，化归与转化是其中的一种。它是解决数学问题的基本方法。化归与转化思想通俗的说，就是化陌生的为熟悉的，化复杂的为简单的，化困难的为容易的，化抽象的为直观的等。当然这里的转化是等价的转化，具有普遍适用性.它作为一个非常重要的解题策略，能够在学生“山重水复疑无路”时，层层拨开迷雾，出现“柳暗花明又一村”，一步步的让学生达到自身的“最近发展区”，从而把复杂的题目给迎刃而解了。

近年来，不管是全国卷还是各省市的质检卷，都会出现简单多面体外接球的题目。它既考查了学生的空间想象能力，又考查学生化归与转化的思想方法。在日常教学中，发现很多学生过多的依赖空间向量工具，空间想象力不断减弱，从而对此类问题，呈现出化归转化不足，经验欠缺，进而产生畏难情绪，造成得分率极低.多面体外接球问题，即转化为确定球心，求出半径，核心在于球心的确定。笔者认为很有必要针对这一块内容进行较为系统的梳理与归纳，下文中以“三棱锥与四棱锥”这两种简单多面体为例。

一、构造长方体（正方体）模型确定球心

我们知道长方体是高中立体几何学习中的基本图形，学生都很熟悉它的性质和特征。长方体的外接球球心是体对角线的中点，体对角线就是外接球的直径。不少三棱锥和四棱锥的外接球问题可以通过构造长方体模型就能迎刃而解。这就是化归与转化原则之一——熟悉化原则。

问题呈现

例1：已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB=■，BC=■，AC=2，则此三棱锥的外接球的体积为（ ）

A.■π B.■π C.■π D.■π

解析：首先我们要数形结合将数量关系和位置关系在图形上转化体现出来。“三条侧棱两两互相垂直”这个条件是关键，依据它可以进行转化——将该三棱锥补形构造以PA、PB、PC为棱的长方体如图1（2）。依据三棱锥的外接球的唯一性，那么三棱锥P-ABC外接球转化为长方体的外接球，只需根据长方体的外接球半径求法求出外接球的半径即可。我们由勾股定理得PA■+PB■=5，PC■+PB■=7，PC■+PA■=4，求得PA■+PB■+PC■=8，从而求得外接球半径R=■=■，代入体积公式■πR■=■π。

变式 在三棱锥A-BCD中，AB=CD=■，AD=BC=■，AC=BD=■，则三棱锥A-BCD外接球的体积为____________。

解析：变式中，由“AB=CD=■，AD=BC=■，AC=BD=■”可知三组对棱分别相等，即可转化——补形长方体，三组对棱分别是长方体的三组对面的面对角线，如右图所示，从而该题就能迎刃而解了。

一般地我们可以转化为构造长方体（正方体）模型有以下几种类型：

（1）三条侧棱两两垂直的三棱锥可补成长方体 （或正方体）；

（2）一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形的三棱錐可补成长方体（或正方体）；

（3）对棱分别相等的三棱锥可补成长方体（或正方体）；

（4）正四面体可补成正方体；

（5） 由两个公共斜边的直角三角形构成的三棱锥可补成长方体；

（6） 一条侧棱垂直于底面且底面是矩形的四棱锥可补成长方体（或正方体）。

二、构造直棱柱模型确定球心

我们知道有外接球的直棱柱，它的外接球球心在上下底面外心连线的中点处，外接球半径通过构造直角三角形利用勾股定理求得，最终转化为方程：R■=r■+（■）■求得。这就是化归与转化方法的“构造法”，构造一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题。

问题呈现

例2：已知四面体S-ABC所在顶点都在球O的球面上，且SC平面ABC，若SC=AB=AC=1，∠BAC=120°，则球O的表面积为________。

解析：将题设条件转化到图形中，由“SC⊥平面ABC，∠BAC=120°”。将四面体S-ABC补形成以△ABC为底面的直三棱柱如图2（2），假设上下底面的外心分别为Q，Q ，那么QQ 的中点即是球心O，连接OC，CQ ，OC就是外接球半径R，CQ'是底面△ABC的外接圆半径r。显然由正弦定理得CQ'=■=1=r，而OQ'=■QQ'=■SC=■，根据勾股定理得R=■+■=■，进而得到球O的表面积为5π。

变式 已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，其外接球的表面积为28π，△PAB是等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，则a=______。

解析：变式中，由“平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为a的正方形”，可以将转化补形成三棱柱如图3所示。

一般地， 有一条棱垂直一面的三棱锥均可构造直棱柱模型。

三、由性质确定球心

我们知道，在空间中，如果有一定点到简单多面体的所有顶点的距离相等，那么这个定点就是该多面体外接球的球心。有外接球的简单多面体中，过任一面的外心作该面的垂线必经过球心。有外接球的简单多面体中，任一棱的中垂面必经过球心，球心和多面体中任何一个平面的外心连线垂直该平面。球心到多面体任何一个平面的距离d，外接球半径R，该平面的外接圆半径r，总满足：R■=d■+r■。因而我们就清楚正n棱锥的外接球的球心在其高线上。这就是我们常见的化归与转化方法之一：直接转化法，即把源问题直接转化为基定理、基本公式或基本图形问题。

问题呈现

例3：【2017年福建省综合质检8】空间四边形ABCD的四个顶点都在同一球面上，E，F分别是AB，CD的中点，且EF⊥AB，EF⊥CD。若AB=8，CD=EF=4，则该球的半径等于（ ）

A.■ B.■

C.■ D.■

解析：由“EF⊥AB，E是AB的中点”可知AB的中垂面经过球心O；“EF⊥CD，F是CD的中点”。可知CD的中垂面经过球心O，而两个中垂面相交于直线EF，那么球心O必在EF上。该球的半径为R，设OE=x，则OF=4—x，由R■=OB■=OD■=BE■+OE■=DF■+OF■，求得x=■，可得R■=■，故半徑为■，选C。

例4：某棱锥的三视图如图5（1），求其外接球的表面积。

解析：我们由三视图转化为棱锥是三棱锥D-ABC，其中

AB=AC=1，BC=■，AD=■，BD=■，CD=■，由勾股定理逆定理得△ABC，△ABD都是直角三角形，则△ABC，△ABD的外心分别是点E，H，根据外接球的性质，我们可以作出OH⊥平面ABD，OE⊥平面ABC，则O是球心。如图建立空间直角坐标系B-xyz，其中A（1，0，0），D（0，-1，1），H（■，-■，■），E（1，1，0），设OE=h，则O（■，■，h），AD=（-1，-1，1），HO=（0，1，h-■），由AD⊥OH，解得h=■，R■=OE■+BE■=（■）■+（■）■=■，则外接球的表面积S=11π。

一般地我们要找出多面体中特殊元素，如两平面互相垂直，两平面的二面角是特殊角，有等边三角形，直角三角形，顶角是特殊角的等腰三角形等等，我们根据球的性质，转化为我们所熟悉的平面问题，从而求得球的半径。

数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，简单多面体外接球问题的解决，总离不开化归与转化。有关球的问题基本题型之一就是简单多面体外接球的问题，它的考查是全方位，多角度，深层次的，考查学生数学抽象能力，更考查学生的化归转化的思想。这类题，我们一般转化为以下几个步骤：先画出图形，将相关的数量关系和位置关系转化到图形中；再者以构造典型几何体模型为前提，将不熟悉的多面体转化为我们所熟悉的长方体或直棱柱问题；若构造存在困难，此时确定球心位置就通过特殊的“截面”把立体几何问题转化为平面问题，进而求出外接球半径，当然还可以考虑通过建系发挥空间向量的威力。

【参考文献】

[1]陈志超.多面体外接球问题的变式探究[J].学法指导，2015（17）：112-113

[2]聂海峰.切接球的转化途径[J].数理化解题研究：高中版，2008（4）：18-20