例说数列通项公式的求法

福建省泰宁第一中学 丁远洪

如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。数列的通项公式是研究数列知识的基础，求数列的通项公式是认识数列进而研究数列的关键。由于数列的类型多，每个数列的通项公式是不同的：有的数列只要认真观察、联想便可得到通项公式；有的数列实际上满足等差数列或等比数列的定义，可用等差数列或等比数列的公式来求；还有的数列其通项公式与项数的规律必须从所给式子经过适当的变形，化成等差或等比数列的形式求解。近几年高考数列题中，往往涉及求数列的通项公式，特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解往往是解决数列题的关键。在复习数列时，如果对数列通项公式的常用方法进行归纳和总结，那么可以达到事半功倍的效果。

以下是笔者总结出的五种求解数列通项公式的常用求法，希望能对大家有所帮助。

一、定义法

利用等差数列定义：an+1-an=d（常数）或等比数列定义（常数）求数列通项公式的方法叫定义法，这种方法要注意观察所给数列的形式，或经过适当的变形，成为等差或等比数列的形式，即可利用等差或等比数列公式求解。

例1 已知 a1=1，-=2 且 an＞0，n∈N+，求数列的通项公式。

分析：此题主要考察等差数列的定义。初看此题，无从入手。但仔细观察，可以发现{a2n}是等差数列，这里考察了学生对等差数列定义的本质认识。

例 2 已知 a1=2，点（an，an+1）在函数y=3x图象上，求数列{an}的通项公式。

分析：此题比较基础，考察了等比数列的定义。

解：∵点（an，an+1）在函数y=3x图象上，

∴an+1=3an，∴

∴{an}是以a1=2为首项，q=3为公比的等比数列，∴an=a1qn-1=2×3n-1。

例3 已知等差数列{an}的前n项和为 Sn，且 a3=5，S15=225，数列{bn}是等比数列，b3=a2+a3，b2b5=128，求数列{an}和{bn}的通项公式。

分析：由等差数列的通项公式和前项和公式，列出方程组，可求出数列的首项和公差，再根据等比数列的通项公式列出方程组，求公比即可。

解：设等差数列{an}的公差为d，则

∴an=2n-1。

设等比数列{bn}的公比为q，则

∴bn=b3qn-3=2n。

点评：例1、例2直接应用了等差数列和等比数列的定义求解，但要适当变形以及观察哪个数列是等差或等比数列。例3已知一个数列是等差（或等比）数列，只要求出首项和公差（或公比），即可求出通项。利用定义法求等差或等比数列的通项公式，要对基础知识掌握牢固，才能灵活应用。

二、累加（乘）法

累加法：形如an+1-an=f（n），其中f（n）是等差或等比数列或其他可求和的数列；累乘法：形如其中 （fn）是可求积的。两种形式都是给我们递推关系，有时若数列没有直接给出递推公式，可找规律，推导出递推公式，经过相应的变形手段，转化成比较熟悉的等差数列或等比数列进行求解。

例4 已知数列{an}，a1=1，an=an-1+3n（n≥2），求 an。

解：由已知得 an-an-1=3n（n≥2），

an-1-an-2=3（n-1），

……

a3-a2=3×3，

a2-a1=3×2，

以上式子相加，得

又∵n=1时a1=1成立，

例5 已知数列{an}中，a1=1，an=2nan-1（n≥2），求 an。

分析：适当变形，用累乘法解决。

解：由已知得

以上式子相乘，

又∵n=1时a1=1成立，

三、公式法

若已知数列 {an}的前n项和Sn与an的关系，求数列{an}的通项公式an，可用公式求解。

例6 已知数列{an}的前n项和Sn，a1=1，an+1=2Sn+1。求{an}的通项公式。

分析：在实际教学中，用公式法求通项公式是一类基础题，但是学生无从入手，原因是没有把an与Sn联系起来，而是孤立 an与 Sn。

解：由an+1=2Sn+1可得an=2Sn-1+1（n≥2），

又 ∵a1=1，a2=3，

∴{an}是以首项a1=1，公比q=3的等比数列，

∴an=3n-1。

四、待定系数法（构造法）

求递推式如an+1=pan+q（p，q为常数）的数列通项，可用待定系数法转化为我们熟知的等比数列求解，相当于换元法。

例7 已知数列 {an}满足a1=1，且an+1=3an+2，求 an。

解：设 an+1+t=3（an+t），

则an+1=3an+2t，

∴t=1，

∴an+1+1=3（an+1），

∴{an+1}为等比数列，

∴an+1=（a1+1）3n-1=2×3n-1，

∴an=2×3n-1-1。

点评：求递推式形如an+1=pan+q（p，q为常数）的数列通项，可用待定系数法构造新数列来求得，这也是近年高考考得较多的一种题型。

五、化归法

想方设法将非常规问题转化为我们熟悉的数列问题来求通项公式的方法即为化归法。这种方法也是我们在解决数学问题时的一种基本思想。

例8 已知数列{an}满足且当n≥2时，有

an-1-an-4an-1an=0，

两边同除以an-1an，

从实行新课标情况来看，数列题在高考中的比重更强调基础，强调数列通项公式的求解。数列通项公式的求解将继续成为数列命题的一个基本点，这是由于此类题目能突出考察学生的逻辑思维能力，能区分学生思维的严谨性、灵敏程度、灵活程度,但不管怎么考，只有重知识，重基础，重能力，才能在考试中取得好成绩。