例谈圆锥曲线中求范围问题

河北易县中学 边红霞

圆锥曲线中求范围的问题，综合性强、灵活性高，往往没有固定的解题模式，有利于考查学生的灵活应变能力，考查学生分析和解决问题的能力，是高考复习的重点内容。

一、创建函数

范围问题中包含求离心率、斜率、截距的范围等。这类问题一般变量多，条件少。其基本思路：根据条件列出变量间的等量关系式，将所求变量做为主变元，其余引起主变元变化的量，设为自变量，然后分离变量，即将主变元从中分离出来，创建函数，通过求函数的值域获取范围。

思考：若 2a2-c2=（a2-c2）a2是关于 a，c的齐次式，方程两边同除以a的最高次，得到关于e的方程，能求出e的具体值，但这道题求的是范围，左边是关于a，c的二次，右边是四次，所以不是齐次式，这是在意料之中，因此就要另辟蹊径。为出现离心率e，同时条件中给定了a的范围，这样考虑以e为主变元，以a为自变量，方程两边同除以a2，目标保留e，a，创建e关于a的函数，通过求函数的值域得解。

二、构造不等式

如何构造不等式，要深刻挖掘题目条件，充分利用圆锥曲线的定义及几何性质，并关注解答过程中出现的各种信息，灵活选用方法，构造出不等式，常见有以下几种。

1.根据圆锥曲线的几何性质。

2.根据题目条件，由题干条件列出含参数的不等式。

3.利用基本不等式，根据各变量间的关系，利用圆锥曲线的定义等创造条件。

解：设 |F1P|=m，|F2P|=n，∵m+n=2a，在△PF1F2中，由余弦定理得，cos120°=

∴3a2≤4c2

思考：此题是利用基本不等式求解。根据椭圆的定义，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为定值，积有最大值，从而利用基本不等式，进行放缩得解。在实际问题中，基本不等式是构造不等关系最常见的方法。

三、利用数形结合

解析几何的实质是用代数的方法研究几何问题。因此，图形是分析问题的基础，充分利用图形中几何量的关系，建立不等式或方程，然后用代数方法进行研究，也是求解范围问题的一种方法，特别是在解选择题、填空题中更为常见。

例 3 已知双曲线 x2-my2=1（m＞0）的右焦点为A，而B，C是双曲线右支上的两点，如果△ABC是正三角形，求m的取值范围。

解：数形结合，由双曲线的对称性，若右支上存在正三角形△ABC，则B，C必关于x轴对称，且直线AB的斜率为tan30°此时直线AB必与渐近线l有交点，∴kAB＞kl，而渐近线所以有，即 m＞3。

思考：数形结合是解决圆锥曲线问题的典型方法，利用圆锥曲线的几何性质，其图形的规律性、对称性等，为解题提供了很多信息，并通过对图形的分析找到解题的突破点。

根据以上例题可以看出，解析几何中求范围问题，常转化为函数或不等式解决。分析的关键，就是利用圆锥曲线的定义和几何性质，根据图形能够敏锐地发现变量间的关系，并依据关系合理选择主变元进行转化实施分离变量，最后构建函数关系，或转化为不等式。其中，熟练掌握圆锥曲线的概念是基础，全面列出变量关系是前提，灵活选用方法准确运算是关键！