分数次微分方程边值问题正解的存在性和唯一性

沈 英

(苏州幼儿师范高等专科学校，江苏苏州 215131)

随着分数次微积分理论研究取得了重大进展，分数阶微分方程在物理、化学、控制、工程等各个领域描述了许多不同现象，这些现象相比整数阶微分方程更能刻画事物内在的实质问题.目前对分数阶微分方程研究的方法比较多，其中不动点定理是较为常见且富有成效的工具，利用锥理论获得了丰富的成果.Bai Z[1]利用锥拉伸与压缩不动点定理，得到了分数阶微分方程两个正解的存在性.Liu Y[2]利用Avery-Peterson不动点定理获得至少3个正解的存在性.Liang S H[3]利用上下解结合不动点定理也获得了正解的存在性.但是，对于分数次微分方程边值问题正解唯一性的研究不多.为此，本文主要研究如下的分数阶多点边值问题：

(1)

1 预备知识

定义偏序：

x,y∈C[0,1]，x≤y⟺x(t)≤y(t)，t∈[0,1].

为了证明问题(1)正解的唯一性，我们使用的基本定理是偏序集上的不动点定理[4-6].

定理1 设(E,≤)是偏序集，在E中存在一个度量单位d，则(E,d)是一个完备的度量空间.假设E满足下列条件：如果{xn}在E中为一个单调非增数列，且xn→x，那么xn≤x，∀n∈N.

设T:E→E为一个单调非增的映射，且d(Tx,Ty)≤d(x,y)-Ψ(d(x,y))，x≥y.其中，Ψ:[0,+)→[0,+)是连续且单调非增的函数，Ψ在(0,+)上有定义且.

如果存在x0∈E使得x0≤T(x0)，那么T有一个不动点.

考虑(E,≤)满足条件(H1)：由于x和y是可以比较的，根据x,y∈E且存在z∈E.

定理2 假设定理1的条件和(H1)成立，则得到边值问题(1)正解的唯一性.

引理1 若0<β<2,h∈C[0,1]，分数阶多点边值问题：

(2)

其中，

(3)

引理2 函数G(t,s)具有如下性质：

(a)G(t,s)是一个连续函数且G(t,s)≥0，∀(t,s)∈[0,1]×[0,1]；

2 主要结论及其证明

定理3 边值问题(1)中的f如果满足下列条件：

(i)f(t,u(t))≠0，对任意的t∈Z⊂[0,1]，这里μ(Z)>0(μ为测度)，f：[0,1]×[0,+)→[0,+)是第二变量的单调非增的连续函数；

(ii)当u≥v，t∈[0,1]时，存在0<λ

则边值问题(1)存在唯一的正解.

下面将验证算子T满足定理1和定理2所有的假设条件.

首先，当u,v∈K且u≥v时，通过条件(i)可得：

这就证明了算子T是单调非减的.

另一方面，当u≥v时，通过条件(ii)可得：

由于函数h(x)=ln(x+1)是单调非减的，通过条件(ii)可知:

=λln(‖u-v‖+1)·L

≤‖u-v‖-(‖u-v‖-ln(‖u-v‖+1)).

设ψ(x)=x-ln(x+1)，显然ψ:[0,+)→[0,+)是连续单调非减函数，且有.此外，当u≥v时，则有：

d(Tu,Tv)≤d(u,v)-ψ(d(u,v)).

由于G(t,s)≥0，f≥0，则得到：

由定理1可知，对于边值问题(1)至少有一个正解.如果(K,≤)满足条件(H1)，那么由定理2可知该正解是唯一的.