见微知著—— 一道不等式证明题引发的思考

文 瑾

(新疆石河子121团第一中学 832066)

一、经历“感知——感悟”

数学解题不可能一蹴而就的，必须要经过自己的尝试，发现，体会，领悟的过程.高三数学一节不等式选讲习题课上，笔者抛出一道题.

题目(2017年高考全国Ⅱ卷第23题)已知：a>0,b>0,a3+b3=2，求证：

(1)(a+b)(a5+b5)≥4；

(2)a+b≤2.

师：不等式证明问题，我们已经讲过多遍解题的思路和常用方法，这道题哪位同学做出来了？

生1：我一看这类证明题，就不会做，压根就没有想法.

生2：老师，这道题我直接证明，写到(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+ba5+b6，没有公因式可提取，卡住了.

生3：我也是，次数太高，第一次见这类证明题，不知该从哪写.

师：配方试试，看有没有突破.(当大部分学生还在忙于配方时，有一个学生(生4)举手说，老师，我证明出来了.)

师：(装作很惊讶的样子)：太棒了！你是怎么想的呢？请把你证明的过程与小伙伴分享.

生4：要证(a+b)(a5+b5)≥4，只需证(a+b)(a5+b5)≥(a3+b3)2，展开得a6+ab5+ba5+b6≥a6+2a3b3+b6,只需证ab5+ba5≥2a3b3，只需证a4+b4≥2a2b2，只需证b4+a4-2a2b2≥0，只需证(b2-a2)2≥0.∵a>0,b>0,∴(b2-a2)≥0显然成立，即(a+b)(a5+b5)≥4.

师：生4思路清晰，合情合理.你是怎么想到(a+b)(a5+b5)≥(a3+b3)2?

生4：我是一眼看出来的！∵a3+b3=2,∴4=(a3+b3)2，把高次转化为低次就出来了.

生1：太赞了，这题我竟然听懂了，从后往前推.

生2：老师，我也做出来了，用配方法，先把a6+b6写成(a3+b3)2-2a3b3，再与已知条件凑在一起，就可得到，过程如下：

证明：(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+ba5+b6

=(a3+b3)2-2a3b3+ab5+ba5

=(a3+b3)2+ab(b4+a4-2a2b2)

=(a3+b3)2+ab(b2-a2)2.

∵a>0,b>0,a3+b3=2,∴(a3+b3)2+ab(b2-a2)2=4+ab(b2-a2)2≥4,即(a+b)(a5+b5)≥4.

生3：我怎么没想到？解题需要灵感，看来我是对这道题没有feel(感觉).

师：生4采用分析法证明，从要证的不等式着手，逐步推求使它成立的条件，直至推得正确的不等式，执果索因的方法证明非常妙.生2，迎难而上，采用综合法，挑战不可能，从已知条件出发逐步推理论证直至结论，由因导果证明勇气可嘉.

生5：老师，我又有新发现，在学选修4-5第三讲，例1已知a,b∈R，证明(a2+b2)(a4+b4)≥(a3+b3)2，您讲过如果不等式的形式与柯西不等式的一致性，就可以避免繁杂的计算.我模仿做了一下：根据柯西不等式，有

师：证明不等式，能联系到经典不等式，既拓展了证明思路，又可以简化运算，生5的方法经济又实惠，瞬间秒杀此题第1问，妙解.

二、经历“初次反思”

这道高考题对思维能力的考查上升到前所未有的新高度.对这道不等式题的证明，一题多解，5种方法的思维高度各不相同，笔者突然顿悟到教师教的重点和学生学的关键点在于是否具备“学解”的能力.“学解”就是学会思路的寻找，通过解题来“学会”解题的方法，达到会一题而通一类、带一串的效果.

三、经历“再次反思”

课后，笔者仔细回味，今天课上讲的这道高考题，学生初次交锋大多数是一头雾水，遇到障碍，经过有数学直觉同学的启发：从寻找证明此题需要哪些条件？还缺少什么？能否从现有的条件中发现什么？如何运用已经学过的相关公式和方法？为什么这样做？说出自己做题的来龙去脉等.最后，学生齐心协力探寻解决问题的方法，共发现五种解法解决这道题，逐步理清了解决这类问题的思路，识别了庐山正面目.

笔者意识到，这节课存有缺憾，仅完成了知识目标的任务，当学生面对此类型题，依旧会遗憾的失分.因为学生中大多数停留在模仿，对证明不等式的方法(比较法、综合法、分析法、反证法等)的本质是什么？每种方法的优缺点，哪时候用这种方法？如何用此法？大多数思维是模糊的不清晰的.追其根源，当学生碰壁时，往往别人的想法代替了自己的解法，自己没有及时对解题过程独立发现——体会——反思，当独自面对问题时，欠缺“学解”能力的储备，自然不能迅速识别、敏锐的作出判断.