高中数学解题中的反证法应用初探

宋 泽

(辽宁省庄河市高级中学高二(11)班 116400)

一、高中数学解题中的反证法在数列问题中的应用

高中数学涉及到的知识繁多而且复杂，我们在解题的过程中经常会遇到一些直接解答时困难或无法得到结果的情况.此时，反证法能快速的解除我们的困扰.在解决与数列有关的问题时，我们就经常应用到反证法.

例如下面题目：已知有一等比数列{an}，其公比是q，前n项和表示为Sn.求证数列{Sn}不是等比数列.题目中给出的问题是否定性命题，正面解答或证明不易实现.我们可以采用反证法的途径：假设数列{Sn}是等比数列，即：若数列{Sn}是等比数列，则有S22=S1S3,由题意得a12(1+q)2=a1·a1(1+q+q2).{an}是等比数列，故a1≠0，上式可以简化为(1+q)2=1+q+q2，整理得q=0.这与原题中q≠0相矛盾，故而原假设不成立，即数列{Sn}不是等比数列.反证法的应用大大节省了我们解题的时间，而且也提高了答案的准确率，使得我们学习数学的效率大大提高.因此，在日常解题的过程中，我们万万不可被传统的解题思路束缚住头脑，要充分地发散思路，综合运用已学的知识，从反面更加全面地了解问题，争取用最短的时间得到最完美、最正确的答案.同时我们也要善于总结，类似于上题题干中存在：“不”、“不是”、“不存在”等字眼时，可以考虑从反证法的角度入手，即假设有、存在，从而推导出矛盾.

二、高中数学解题中的反证法在命题证明题中的应用

1.反证法在证明“唯一性”命题时的应用

数学是一门涉及多种概念、性质、公式、定义的学科，在学习的过程中，我们会面临着命题的证明问题.很多命题是无法进行正面直接地证明的，因此，需要运用反证法从反面进行证明.比如：证明一个圆只有一个圆心.如果从正面直接对这个问题进行论证，我们会无从下手，因此，我们采用反证法来证明这个命题，可以先假设一个圆有两个圆心，然后得出与已知结论矛盾的结论，最后得到原命题正确这一结论.具体解题过程：假定一个圆有两个圆心A和O，在圆内作弦CD，取中点E，连接OE，AE，这样过直线CD上一点E同时有两条直线OE、AE⊥CD，与经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线的基本性质矛盾，所以，“一个圆只有一个圆心”这一结论成立.

2.反证法在证明必然性命题时的应用

在证明必然性命题时，可以将题中给出的结论转变为命题，再将原来的肯定命题化为否定命题，通过严谨的论证推出该否定命题是错误的，由此得到原命题正确的结论，进而证明了原题的结论.例如：已知a，b，c均为正整数，且满足a2+b2=c2，又知a为质数，求证：b与c两数必为一奇一偶.证明：假设b和c同为奇数或同为偶数，由a2+b2=c2得(c+b)(c-b)=a2,根据奇偶数性质可以得知c-b和c+b同为偶数，那么a2必为偶数，所以a也为偶数，而且原题中给出了“a是质数”，所以a=2,则有(c+b)(c-b)=4，所以

3.反证法在证明无限性命题时的应用

三、高中数学解题中的反证法在不等式中的应用

在不等式的学习过程中，我们会面临着不等式的证明问题，当遇到普通的不等式问题时，我们可以用“分析法”、“综合法”、“比较法”这三种通法解决问题，但是有一些比较极端的问题，用这三种方法无法得解，这就需要我们用反证法从反面进行问题的解决.

例如：已知a+b+c>0，ab+bc+ac>0，abc>0，求证：a>0，b>0，c>0.面对这样的问题，我们就需要用反证法解决.证明：假设原题中的结论不成立，即假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设a<0，b<0，c>0，由a+b+c>0，可得c>-(a+b)，又∵a+b<0，∴c(a+b)<-(a+b)(a+b).两边同时加上ab，则c(a+b)+ab<-(a+b)(a+b)+ab，即ab+bc+ca<-a2-ab-b2.∵a2>0，ab>0，b2>0，∴-a2-ab-b2<0，∴ab+bc+ca<0.这与已知ab+bc+ac>0相矛盾，故假设不成立.所以a>0，b>0，c>0成立.运用反证法，一个原本复杂难解的问题就迎刃而解了.由此可见，将反证法巧妙地应用到解题过程中去，能够大大缩短解题时间，提高解题的效率.

数学知识的覆盖面非常广泛，许多问题也复杂繁琐，需要我们发散思维，充分运用以前所学的知识，采用多种方法进行解决.在长期的学习过程中，我们不难发现，在进行不同类型问题的解决时，反证法简单、易懂，尤其在进行不同类型证明题的证明时，反证法能够增强我们的逻辑思维、提升我们的创造思维，因此，我们要不断地总结规律，争取在解决问题时，将反证法更好地运用到解题过程中去.