两条圆锥曲线相交的一个射影命题
2018-08-11安徽省滁州中学239000郭守静
安徽省滁州中学(239000)郭守静
安徽省滁州二中(239000)耿晓红
射影命题指的是仅与点和直线的关联关系以及顺序关系有关的命题.本文提出并且证明两条具有公共焦点的圆锥曲线相交的一个射影性质,即：
性质已知圆锥曲线Γ,Γ′相交,焦点均在直线l上,且有一个公共的焦点F,过焦点F的任一条直线l′,且Γ交于点M,Γ′交于点M′(点M,M′在直线l的同一侧),m为Γ在点M处的切线,m′为Γ′在点M′处的切线,那么直线m,m′交点在曲线Γ,Γ′交点连线上.
证明圆锥曲线Γ,Γ′的另外两个焦点与共同焦点F的位置关系如下：
图1
图2
(1)另外两个焦点在焦点F两侧时,过焦点F,且与准线垂直的直线为x轴,点F为坐标原点,建立直角坐标系.圆锥曲线：
其中e为离心率,p为焦准距;圆锥曲线：
其中e′为离心率,p′为焦准距.
设直线l′的倾斜角为θ,点M、M′的横坐标分别为t、t′,根据圆锥曲线第二定义知|MF|=e(t+p),所以M(t,e(t+p)sinθ);同理M′(t′,e′(p′-t′)sinθ).因为点F、M、M′在一条直线上,所以
过M的切线方程为：
过M′的切线方程为
联立②、③,消去y,并且代入①得到：
设曲线Γ,Γ′交点K(u,v),根据圆锥曲线的第二定义,|KF|=(u+p)e=(p′-u)e′,所以可以推出结合图形的对称性,交点K、K′的连线即为所以直线m,m′交点在曲线Γ,Γ′交点连线上.
(2)当另外两个焦点在焦点F一侧时,证明过程与(1)过程类似(略去),证毕.
注解下面交待本文所提的这一射影命题的发现过程,这一发现源于对王伯龙老师在文[2]中所提的一个命题的探究,文[2]所提的命题概括如下：
如图3,经过圆锥曲线E的焦点F且垂直于x轴的直线交圆锥曲线E于A,B为圆锥曲线上不同于点A的任意一点,点B在x轴上的正投影为点M,圆锥曲线E在点A处的切线交直线BM于点C,则|CM|=|BF|.
图3
该命题的等价表述是：
经过圆锥曲线E的焦点F且垂直于x轴的直线交圆锥曲线E于A,B为圆锥曲线上不同于点A的任意一点,过点F且垂直于x轴的直线l′交以点F为圆心,|BF|为半径的圆于点N(点A,N在x轴的同一侧),则点A,N处的切线的交点在圆锥曲线E和圆F的交点连线上.
对这一等价表述作两步合理推测,第一步是：将“圆锥曲线Γ的一个焦点与圆F的圆心重合”替换为“有一个公共的焦点F的圆锥曲线Γ,Γ′”,用几何画板检验之后,发现结论成立;第二步是：建立在第一步基础之上,将“与x轴垂直的直线l′”替换为“过点F的任意一条直线l′”,再次用几何画板检验之后,发现命题仍然成立,即为本文所提的射影命题.这就是发现这一命题的全过程.
