从函数凹凸性探讨一类参数取值范围问题的本质*

2018-08-11新疆乌鲁木齐市新疆师范大学数学科学学院830054

中学数学研究(广东) 2018年13期

关键词：凹凸端点切线

新疆乌鲁木齐市新疆师范大学数学科学学院(830054)杨军

新疆乌鲁木齐市第八中学(830002)李昌成

1 问题的提出

利用导数求参数取值范围的试题,是高考数学的压轴题,对考生具有相当的难度.通过对试题的分析,发现其中相当多的一类试题是如下的形式：“当x∈(m,n)时,f(x)≤ax+b(或f(x)≥ax+b)恒成立,求参数a的取值范围”.例如：

1.(2017年全国II卷文科第21题)设函数f(x)=(1-x2)ex.(I)略;(II)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.

2.(2008年全国II卷理科第22题)设函数f(x)=(I)略;(II)如果对任何x≥0都有f(x)≤ax+,求a的取值范围.

3.(2014年全国II卷理科第21题)已知函数f(x)=ex-e-x-2x,(I)略;(II)设g(x)=f(2x)-4bf(x)＞0,当x＞0时,g(x)＞0,求b的最大值.

(已知条件g(x)=f(2x)-4bf(x)＞0可化为e2x-e-2x-4b(ex-e-x)＞(4-8b)x.)

求解上述试题的通法是“分离参数法”：即分离参数后转化为恒成立问题,再求对应函数的最大值或最小值.但是上述试题分离参数后,求对应函数的最大值或最小值时,不但需要复杂的二次求导运算,而且其最大值(最小值)或不易求解或不存在(有兴趣的读者可以用分离参数法尝试之).

看了上述高考试题所附参考答案的解法,感觉从天而降,令人费解.同时也注意到部分教师进一步用“洛必达法则”求解对应函数的最大值或最小值的临界值[1],但因其未能揭示问题本质,故还需进一步探究.

本文拟揭示形如“当x∈(m,n)时,f(x)≤ax+b(或f(x)≥ax+b)恒成立,求参数a的取值范围”这一类试题的本质,并给出其基于本质的解法,以飨读者.

2 试题的本质揭示

下面以2017年全国高考数学II卷文第21题为例进行分析.

例1设函数f(x)=(1-x2)ex.

(I)略;

图1

(II)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.

分析利用几何画板画出函数f(x)=(1-x2)ex和直线y=ax+1的图形(图1).由图知,要使x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+1成立,只需当x∈[0,+∞)时,射线y=ax+1始终在函数f(x)=(1-x2)ex图象的上方(仅在端点x=0处重合).

如何保证当x∈(0,+∞)时射线y=ax+1始终在函数f(x)=(1-x2)ex图象的上方呢?为此利用几何画板动画功能发现,直线y=ax+1为曲线f(x)的切线位置是f(x)≤ax+1成立的极限情形：即若射线y=ax+1(x∈[0,+∞))位于切线位置或其上方时,均有f(x)≤ax+1,若射线y=ax+1(x∈[0,+∞))位于切线位置下方时,f(x)≤ax+1不恒成立(图2).

之所以如此,关键的原因是f(x)=(1-x2)ex在x∈[0,+∞)上是凸函数(即曲线是凸的).如若不然,则不能保证“当射线y=ax+1(x∈[0,+∞))位于切线位置或其上方时,均有f(x)≤ax+1”.例如图3中的反例.

图2

图3

至此,我们揭示了这道试题的本质：因为f(x)=(1-x2)ex在x∈[0,+∞)上是凸函数,故条件“x≥0时,f(x)≤ax+1”等价于“射线y=ax+1(x∈[0,+∞))位于曲线f(x)=(1-x2)ex在点x=0处的切线位置或其上方”.

又f′(x)=ex(-x2-2x+1),故曲线f(x)=(1-x2)ex在点x=0处的切线斜率为f′(0)=1.从而参数的取值范围为a≥1.

一般地,若函数f(x)在x∈[m,n]上是凸函数,并且函数y=f(x)与y=ax+b在区间[m,n]左(或右)端点处的函数值相等,则“当x∈[m,n]时,f(x)≤ax+b成立”等价于“y=ax+b(x∈[m,n])位于曲线y=f(x)在端点处的切线位置或其上方”(图4).

反之,若函数f(x)在x∈[m,n]上是凹函数,并且函数y=f(x)与y=ax+b在区间[m,n]左(或右)端点处的函数值相等,则“当x∈[m,n]时,f(x)≥ax+b成立”等价于“y=ax+b(x∈[m,n])位于曲线y=f(x)在端点处的切线位置或其下方”(图5).

图4

图5

从而,要求参数a的取值范围,只需判断函数y=f(x)在某一区间上的凹凸性,并求出曲线y=f(x)在区间端点处的切线斜率,根据“y=ax+b(x∈[m,n])位于曲线y=f(x)在端点处的切线位置或其上下方”即可求出目标参数的取值范围.从而也表明,此类问题是基于函数的凹凸性而命制出来的.

3 函数凹凸性的判断方法

下面先给出函数凹凸性的定义,然后抽象出用二阶导数正负判断函数凹凸性的方法.

函数凹凸性的定义已知f(x)是定义在区间I上的可导函数,任给ξ∈I,若曲线弧f(x)始终位于其在x=ξ处的切线下方,则称函数f(x)是区间I上的凸函数(如图6).

反之,任给ξ∈I,若曲线弧f(x)始终位于其在x=ξ处的切线上方,则称函数f(x)是区间I上的凹函数(如图7).

图6

图7

上述定义与传统的定义(若曲线弧段上任意两点联结而成的弦,总位于曲线弧段的上(下)方,则称函数为凹(凸)函数)本质上是等价的,文[2]严格证明了两者的等价关系.这里之所以选择上述定义,一是基于本文探究的这类试题正是基于这一定义而命制的;二是根据上述等价定义,可得判断函数凹凸性的方法,即：若曲线f(x)在点x处的切线随着x的增大而呈上升(下降)趋势,即f′(x)为区间I上的增(减)函数,则函数f(x)是区间I上的凹(凸)函数(图6或图7).由此可得如下结论.

判断函数凹凸性的方法∀x∈I,若二阶导数f′′(x)＜0,则f′(x)为区间I上的减函数,从而函数f(x)是区间I上的凸函数;若二阶导数f′′(x)＞0,则f′(x)为区间I上的增函数,从而函数f(x)是区间I上的凹函数.

4 利用函数凹凸性求参数取值范围

下面利用“函数凹凸性”解答前述后面的两道高考试题,从中领略基于“函数凹凸性”解法的简洁和本质.

例22008年全国高考数学II卷理科第22题的解答.

解易求f′(x)=

(2)令f′′(x)＜0解得x∈(2kπ,π+2kπ)(k∈Z),从而函数f(x)在区间(2kπ,π+2kπ)(k∈Z)内为凸函数.令f′′(x)＞0解得x∈(-π+2kπ,2kπ)(k∈Z),从而函数f(x)在区间(-π+2kπ,2kπ)(k∈Z)内为凹函数.

由x∈[0,π)时f(x)为凸函数,故当x∈[0,π)时,曲线弧f(x)始终位于其在点x=0处的切线下方(仅在切点处重合).从而表明当x∈[0,π)时,恒成立.

(3)下证当x∈[π,+∞)时,曲线弧f(x)仍位于其在点x=0处的切线下方.

图8

有兴趣的读者可以查阅例2这道高考试题所附的参考答案解法,原解法不但利用了反三角函数的知识,而且晦涩难懂.

例32014年全国高考数学II卷理科第21题的解答.

已知条件g(x)=f(2x)-4bf(x)＞0可化为e2xe-2x-4b(ex-e-x)＞(4-8b)x.令h(x)=e2x-e-2x-4b(ex-e-x),则h′(x)=2e2x+2e-2x-4b(ex+e-x).由h′(0)=4-8b,可得曲线h(x)在点x=0处的切线方程为y=(4-8b)x,从而表明e2x-e-2x-4b(ex-e-x)＞(4-8b)x的几何意义恰为：当x＞0时,曲线弧h(x)位于其在点x=0处的切线y=(4-8b)x上方.

下面讨论函数h(x)的凹凸性.

二阶导数h′′(x)=4e2x-4e-2x-4b(ex-e-x)=4(ex-e-x)(ex+e-x-b),则：

(1)当b≤2时,令h′′(x)=0得x=0.由均值不等式知ex+e-x-b＞0.故当x∈(-∞,0)时,由ex-e-x＜0可知h′′(x)＜0,从而函数h(x)在(-∞,0)内是凸函数;故当x∈(0,+∞)时,由ex-e-x＞0可知h′′(x)＞0,从而函数h(x)在(0,+∞)内是凹函数;

从而当x∈(0,+∞)时,曲线弧h(x)始终位于其在点x=0处的切线y=(4-8b)x上方,即e2x-e-2x-4b(exe-x)＞(4-8b)x恒成立,此时b≤2符合题意.

(2)当b＞2时,令h′′(x)=0,得x1=ln故其凹凸性见下表.