应用向量法证明正（余）弦定理

于志洪

向量法是一种解析方法，此法在证几何题时，由于具有几何的直观性，表述的简洁性和处理方法的一般性，因此对于数学知识的融汇贯通很有帮助

现仅就著名的正（余）弦定理的向量证明进行介绍，供高二学生学习时参考

1 正弦定理的向量法证明

在任意△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则asinA=bsinB=csinC

证明 如图1，作CD⊥AB于D

因为封闭线段在任意轴上投影的代数和为零

又因为AB⊥DC，所以AB在轴DC上投影为零；而AC在DC上投影为bsinA,CB在DC上投影为-asinB.

所以bsinA-asinB=0,所以bsinA=asinB.

所以asinA=bsinB同理可证得

bsinB=csinC,csinC=asinA,

所以asinA=bsinB=csinC

2 余弦定理的向量法证明

在任意△ABC中，a、b、c为∠A、∠B、∠C的对边，

则a2=b2+c2-2bccosA,

b2=a2+c2-2accosB,

c2=a2+b2-2abcosC,

证明：如图2，在已知△ABC的三边AB、BC和CA上，分别取从B向A、从B向C和从A向C为正方向，这样就得到三个向量BA、BC和AC，并且BA+AC=BC根据关于向量的射影定理可知：

BC的射影=BA的射影+AC的射影

BC在轴BC上的射影=|BC|cos0°=a;

BA在轴BC上的射影=|BA|cosB=ccosB;

AC在轴BC上的射影=|AC|cosC=bcosC;

所以a=ccosB+bcosC①

同理可证得：

b=acosC+ccosA②

c=acosB+bcosA③

再由①·a-②·b-③·c,即可得到a2=b2+c2-2bccosA.

同法：b2=a2+c2-2bccosB

c2=a2+b2-2abcosC

上述向量法证明正（余）弦定理，不必去区分锐角、钝角、直角三角形，从而大大简化了证明过程，因而值得介绍

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文