浅谈枚举法在中学数学解题中的应用

张 弟

（江苏省常州市北郊高级中学，江苏 常州）

一、与枚举法有关的概念

在进行归纳推理时，如果逐个考察了某类事件的所有可能情况，因而得出一般的结论，那么这结论是可靠的，这种归纳方法叫做枚举法，或穷举法.简而言之就是根据情况逐一讨论.

当主体接触的问题存在大量的可能的答案或者中间过程时，就不得不采用逐一检测这些答案的策略.采用枚举法虽然看起来“笨拙”，但确实是一种行之有效的解题策略，采用枚举法时，每种情况都增加了一个前提条件，为问题的解决提供了便利.因此有时即使可以统一处理，但是为了降低难度也采用枚举法，分情况讨论.

二、枚举法在数学解题中的应用

1.枚举与分类

枚举与分类常常联系在一起，为了枚举，有时需要先分类再一一列出来，再考虑列举出来的结果与原问题的关系.

例1 若整数n不是5的倍数，则n2也不是5的倍数.

分析 不是5的倍数的整数按余数可分为四类：5k+1、5k+2、5k+3、5k+4（为整数）.对它们分类考查.

①n=5k+1 时，n2=（5k+1）2=5（5k2+2k）+1 不是 5 的倍数；

②n=5k+2 时，n2=（5k+2）2=5（5k2+4k）+4 不是 5 的倍数；

③n=5k+3 时，n2=（5k+3）2=5（5k2+k+1）+4 不是 5 的倍数；

④n=5k+4 时，n2=（5k+4）2=5（5k2+8k+3）+1 不是 5 的倍数.

综上知，若整数n不是5的倍数，则n2也不是5的倍数.

注：此题也可通过反证法来说明原命题成立。

例2 有一个无盖立方体纸箱，将它沿棱剪开摊成平面展开图.那么，共有多少种不同的展开图？

分析 我们将展开图按最长一行有多少个正方形来分类，有序的画图枚举就可以解决问题.

（1）最长一行有4个正方形：

（2）最长一行有3个正方形：

（3）最长一行有2个正方形：

故一共有8种不同的展开图.

2.枚举与最值

在数值比较小或是易于计算时，我们可以通过枚举法来处理一些最值问题.特别是在一些线性规划题中.最值的选择有时可从枚举出的情形中获得.

例3 若m、n是正整数，mn=120，则m+n可能取到的最小值是______.

分析 考虑m、n的对称性，又因为120=1×120=2×60=3×40=4×30=8×15=10×12.可知当m、n为 10，12 时，m+n的最小值 22.

注：m，n两数越接近，和越小.

3.枚举与不等式

有时候我们在处理问题时会得到所求值在一个范围之内，为了找出它可能的值我们会根据题意用枚举法将它一一列出来，再通过验算找出符合题意的解.

例4 一个三位数除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和，试求出所有满足这样条件的三位数.

分析 设这三位数的百位，十位，个位数字分别为x，y，z，由于任何不能整除11的数，除以11所得余数小于等于10，所以，1≤x2+y2+z2≤10 从而 1≤x≤3，0≤y≤3，0≤z≤3.于是所求的三位数必在以下数中：100，101，102，103，110，111，112，120，121，122，130，200，201，202，110，211，212，220，221，300，301，310. 容易验证，100，101两个数符合要求.

4.枚举与概率

古典概率的计算是概率中最基本、最重要的内容之一.学好古典概率的计算对后续课程的学习是非常重要的.但对于初学者来说这比较难，特别是对有利事件数的计算，容易遗漏或重复.由于枚举法直观形象，只要按照一定的规律，就不容易重复或遗漏.

例5 一个口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出两个球.（1）共有多少个基本事件；（2）摸出的2个球都是白球的概率是多少？

分析 这是苏教版数学3课本中关于“古典概型”的第一道例题.枚举法讲究顺序，分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，摸到 1，2 号球用（1，2）表示，则基本事件是（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）. 先将对象排好一定的次序，拿第一个找完所有的组合，再进行第二个，这时就不用回头找了，如此可确保不重复、不遗漏.

5.枚举与不定方程

关于不定方程的自然数解、整数解、有理数解或质数解的问题是数论研究的一个重要课题，对于简单的不定方程的求解和证明也是考查和训练中学生数学思维的灵活性与创造性的一个主要题目来源，其中枚举法可以处理简单的不定方程的求解问题.我们可以按一定顺序将它们的解一个一个地列出来，再判断这些解是否符合题意，从而求出解.

例6 求不定方程5x+3y=49的正整数解.

分析 当一一列举x的整数值，y的值便可求出.

当x=1时（不符合条件，舍），

当x=2时，y=13（符合条件），

当x=3时（不符合条件，舍），

当x=4时（不符合条件,舍），

当x=5时，y=8（符合条件），

当x=6时（不符合条件，舍），

当x=7时（不符合条件，舍），

当x=8时，y=3（符合条件），

当x=9时（不符合条件，舍），

当x≥10时，y都不是正整数.