变量有误差的半参数模型的经验似然推断

刘 彭，张 超，柳平增

（山东农业大学a.应用统计与农业信息化实验室；b.大数据中心，山东 泰安 271000）

0 引言

经验似然方法是Owen[1]在1988年提出的一种非参数统计推断方法，这种方法具有很多优点：可以完全根据数据来决定变量对应的置信区间，便于将多元数据进行组合，还可以合并偏度信息，使得删失数据或缺失数据的样本更易于处理，具有纠偏性、无需构造统计量等。因此，经验似然方法在半参数回归模型的各个领域应用广泛。

半参数回归模型既含有参数分量，又含有非参数分量，结合了线性回归模型和非参数回归模型的优点，因此不论是在理论研究上，还是在实际应用中都具有重要意义。经验似然方法已大量应用于半参数回归模型中，本文考虑变系数部分线性模型：

对于模型（1）的经验似然推断已有了大量的研究，如Hu[2]在2009年对变量有误差的变系数部分线性模型进行了研究，在两种不同的情况下，提出了参数部分经验对数似然比，构造了参数部分的置信区间，Huang[3]在2009年对模型（1）利用经验对数似然方法构造了非参数部分的置信区间，同时得到了估计的经验似然比服从标准卡方分布。本文针对变量有测量误差的变系数部分线性模型，提出了非参数部分的经验似然，并用对数似然法构造了非参数部分的置信区间，证明了估计的经验似然比服从标准卡方分布：

其中Eη=0,Eη2=Ση,且η与( )X,Z,U,ε独立。

1 估计的经验似然

为了定义经验似然估计量，先假设β已知，可以利用约束，其中f(u)为U的密度函数，并有一个紧支撑S(f)。由此，引入如下辅助随机向量：

其中h是带宽，Kh(·)=h-1K(·h)且K(·)是核函数。

如果β已知，由于是独立的且，则可以构造估计方程，此方程的解为α(u)的最小二乘估计，同样可以通过经验似然方法得到，因此，下面定义剖面经验对数似然比函数：

若α(u)为真参数，则 ℓn(α(u) )服从自由度为p的标准χ2分布，但是这里β未知，要对 ℓn(α(u) )进行分析，比较可行的方法就是用估计量β̂来代替β，下面就来估计β：

对l=1,…,p用kl个基函数的线性组合来逼近变系数函数为kl×1基函数向量，为kl×1未知函数向量，此方法的优点在于：kl可任意增大，从而存在的线性组合很好地逼近任何光滑函数αl(U)，故其逼近的均方误差可任意小。

定义K×1阶矩阵逼近，此时，式（2）等价于：

令：

又式（2）可以写成矩阵形式：

下面用修正的最小二乘法估计：

即得到估计量：

其中λ满足：

若α(u)为真参数，则分布，要得到这个结论，下面先给出一个定义和一些条件：

定义1：Ç是一个函数类，如果Ç中任一函数g(x,z)满足：

上述定义的详细介绍参考文献[4]。

条件1：u的密度函数f(u)有紧支撑S(f)，对所有l,k=1,…,p，γl,k(u),f(u)在u0处有连续一阶导，对每个r=1,…,p，αr(u)在u0处的二阶导数为连续有界函数；

条件2：核函数K(u)为有界对称密度函数，其导数有界，且满足

条件 3：存在τ＞1，使得

条件6：①对每个K，存在非奇异阵B，使得的最小特征值在K上一致有界大于 0；②存在满足和K=Kn的序列ζ0(K),使得,其中S是(x1,u1)的支集。

定理1：在条件1至条件7下，且满足h→0,nh3→∞,nh8→0, 若α(u0)为 真 参 数 ，那 么

根据定理1，α(u0)的置信区间可以由式（10）构造，对任意的的置信区间。

2 部分剖面经验似然比

为了构造α(u)的分片置信区间，这里借助部分剖面经验似然方法来定义αr(u)的经验对数似然比函数：考虑估计方程，这里er是第r个元素为1，其余元素为0的p维向量，α̂(·)为的最小值，这里假设Q(u)可逆，对任意的h，联合式（11）得：

其中，α̂(u)等价于最小二乘估计，具体参考文献[5]。

对数似然比函数为：

从定理2可将αr(u0)的置信区间定义为：

3 主要结果的证明

根据大数定律有：

下面逐项证明：

其中：

显然结论得证。

引理2：在定理1的条件下，如果α(u0)是真参数，则有

这里仅证A4,A5，其他的类似可以得到。

对任意的δ＞0，

故A4=op(nh)12,A5=op(nh)12，即结论成立。

引理3：在定理1的条件下，如果α(u0)是真参数，那么：

引理4：在定理1的条件下，如果α(u0)是真参数，那么：

引理5：在定理1的条件下，如果α(u0)是真参数，则,其中λ在式（12）中定义。

引理3、4、5的证明参考文献[2],这里不再详述。

定理1的证明：结合引理，对式（11）利用Taylor展开式得：

根据式（12）可以得到：

由上面三个式子定理1易证。

定理2的证明参考文献[6]。

4 结束语

本文介绍了协变量有误差的半参数变系数部分线性模型的似然推断，提出了经验似然在半参数误差模型中的应用。对于删失数据、缺失数据在广义线性模型、线型混合模型中的经验似然推断有所欠缺，还有待进一步的研究。