基于激光超声在高温下对超声波声速的数值模拟

陶 程,殷安民,应志奇,王煜帆,郭智敏

(1.宁波大学机械工程与力学学院,浙江 宁波 315211；2.浙江省零件轧制成形技术研究重点实验室,浙江 宁波 315211；3.中国兵器科学研究院宁波分院,浙江 宁波 315103)

1 引 言

铝板带作为国民经济发展的重要基础材料,市场需求强劲。随着技术发展和市场需求的变化,厂商对铝板带产品的性价比及产品的质量标准要求却愈来愈高[1]。然而,长期以来,金属板材的微观组织和力学性能检测主要依赖各种静态、离线、破坏式方法。这类检测方法虽然能够获得最终产品的微观组织和力学性能参数,但是效率较低、随机性较大,并且不能在整个生产过程中对产品的质量进行在线检测和监控[2]。

目前,世界各国的科研工作者争相寻找适合应用于金属板材在线检测的技术。然而,适合于现代化大生产企业的在线检测技术不多。激光超声技术由于可以高温高压、辐射等恶劣环境下设备的监测,且能进行远距离的激发与接收,设备价格适中、对材料的表征等许多优点,在许多领域中得到越来越多的应用[3-5]。

材料的超声表征可利用超声波在介质材料中的速度和衰减两个参数进行表征。超声波的速度适合于表征材料微观组织成分的相对变化量,也适合表征多晶体材料的择优取向。声速取决于材料特性,可反映出材料的再结晶、相变、尺寸、温度等信息。然而,铝及铝合金在热轧时轧制温度都比较高,例如纯铝铸锭热轧开轧温度一般为480～520 ℃,终轧温度为240～300 ℃。目前,超声波声速与温度的研究分析在国内外学者已做过许多工作。YongGang Wang[6]通过实验分析得到了铝合金2024-T4和7075-T6的纵波、横波声速与温度的关系。GuoRuipeng[7]通过激光超声方法,得到了在20～470 ℃下低碳钢的声表面波速度随温度变化的情况。关卫和[8]通过试验研究了常温到450 ℃范围内,压力容器中碳钢的超声横波随温度的变化规律。目前大部分研究都是针对材料钢的超声波声速与温度之间的关系,而关于铝合金或纯铝的超声波声速与温度之间的研究很少。因此,对于研究材料铝的声速随温度之间的关联显得十分有必要。

本文在前人所研究的基础上,针对铝及铝合金实际轧制工艺,对铝板在高温下的超声波声速特征进行分析。通过建立不同温度环境下铝板中超声波传播的轴对称有限元模型,分析温度和纵波、横波、声表面波声速之间的关系,并采用得到的不同温度环境下声速的理论计算模型对高温下铝板的泊松比和弹性模量进行验算,验证理论计算模型的精度。

2 理论模型与数值分析

2.1 热传导理论

激光点源垂直辐射在材料的上表面,考虑到入射激光束空间分布上为高斯分布,图1为建立的模型示意图。

图1 激光辐射样品的模型图

由于入射激光束具有轴对称分布的特性,分析的时候可以采用柱坐标系,运用经典的热传导理论可以表示为:

(1)

式中:T(r,z,t)表示t时刻的温度分布；ρ,c和k分别表示为密度、比热与热传导系数。

材料上下表面的边界条件设置为:

(2)

(3)

式中,I0是激光中心功率密度；A(T)表示材料表面的吸收率；f(r),g(t)分别表示激光的空间、时间分布,其中:

(4)

(5)

式中,a0表示激光光斑的半径;t0表示激光脉冲上升时间。

2.2 热弹耦合的有限元方程

在热弹机制下,样品吸收激光的能量会产生局部区域的热膨胀,进而形成明显温度梯度,由演变的热应力产生了瞬态的位移场。在弹性体中,超声波的传播满足于Navier-Stokes方程:

(λ+2μ)(·U)-μ××U-α(3λ+2μ)·

(6)

其中,U(r,z,t)是瞬态位移；λ和μ是Lame常数；α是材料的膨胀系数；ρ是材料密度。

在材料的上下表面应满足自由边界条件:

n·[σ-α(3λ+2μ)T(r,z,t)I]=0

(7)

其中，n是垂直于表面的单位向量；I是单位张量；σ是应力张量。

模型的侧边采用限制性边界条件,限制位移为0。同时,位移场也要满足初始条件:

(8)

2.3 有限元方法

在瞬态的热-应力分析中,公式(1)和(6)的有限元方程用热弹耦合方程表示为:

(9)

(10)

(11)

其中,Vs是热应变体积；[B]是应变-位移矩阵；[D]为材料参数的特征矩阵；{εth}是热应变矢量,可以表示为:

{εth}=α({T}-{Tref})

(12)

尽管温度场与位移场是相互耦合的,但是位移场对温度场的影响是可以忽略不计的,利用有限元进行分析时,采用顺序耦合来分析整个激光激发到接收的整个过程。首先将激光激发的能量看作是加载在表面的一个热流边界进行处理得到瞬态温度场的分布,然后将得到的温度场分布作为体载荷加载在材料上,从而得到瞬态位移场的分布。

2.4 激光与材料的参数

基于上述的理论分析,建立有限元模型计算脉冲激光在铝板中产生超声波,铝板的半径为20 mm,高度为5 mm。激光的上升时间为10 ns,激发的能量为1 mJ,激光的光斑半径为0.3 mm。

为了更好地反映出激光激发所产生的温度梯度分布,采用变网格技术,在激光激发点附近区域网格大小为5 μm,远离激光激发的区域为20 μm,中间部分采用三角形网格进行过渡。

一般来说,时间步长越小越能分辨出高频成分的超声波,但这样会导致计算量大大增加,会耗费大量的时间。如果时间步长设置的过大就分辨不出有效的高频成分。对于设置时间步长不能简单的设置固定值进行分析。因此在热分析的时间段内取0.5 ns,在应力分析的时间段则设置为2 ns,以确保超声波的产生与传播。

因为研究高温下超声波的传播,需要知道材料各个参数随温度的变化关系,才能进行正确的模拟分析。铝在常温下的热物理参数与力学参数如表1所示。

表1 计算中所需要铝的参数

查阅相关资料可得到铝材料各个参数随温度的变化情况[9-10]。

3 计算结果与分析

考虑到纯铝的熔点为660 ℃,为了使激光激发状态维持在热弹机制条件下,并结合实际的纯铝轧制工艺,本文选取模拟的最高温度为450 ℃。分析初始温度从20～450 ℃变化时在铝中超声波传播的情况。

通过建立上述的模型并进行了相应的数值模拟,首先得到了关于激光激发在某一时刻的速度场,如图2所示。由图可以清晰地分辨出纵波(P)、横波(S)、头波(H)、声表面波(R),并且可以发现声表面波的能量最大,横波次之,而纵波的能量最小。

将探测点放置在表面距离激发点10mm处,所得到的各个温度下表面垂直位移随时间的变化曲线,如图3所示。

在图3中接收到的表面波形有三个明显的特征,根据声速的大小依次是掠面纵波(sP)、横波(sS)、声表面波(R)。纵波位移垂直于表面且表现为单极性,声表面波波形为双极性且位移幅值最大。随着温度的不断提高,纵波、横波、声表面波声速不断减小,幅值也相应的出现了衰减趋势。考虑到设置的其他条件都一致,所以不可能是传播时扩散、散射以及介质所吸收引起的,可以推断为高温下导致声速的降低。所以在不同温度下进行分析时需要采用不同速度进行精准计算,可以有效提高检测的精度。

图2 激光激发表面波的速度场

图3 在不同温度下激光产生表面波的模拟结果

将探测点放置在对心位置处,所得到的对心波形,如图4所示。

图4 在不同温度下的对心波形图

在图4中所接收的对心波形主要包括纵波(L)、横波(S),其中横波的幅值明显大于纵波,且幅值随温度衰减更大。通过图3、图4可以计算出了20～450 ℃纵波、横波、声表面波的传播速度如表2所示。

表2 纵波、横波、声表面波声速随温度的变化

3.1 声速随温度变化的关系

通过计算发现在从常温上升到450 ℃时,纵波、横波、声表面波声速分别衰减幅度为5.74%、16.7%、16.2%。当温度上升越大,速度降低越明显。超声波的传播速度与材料的弹性模量、泊松比、密度有关。根据固体力学理论可得：

(13)

(14)

(15)

式中,VL,VS,VR分别为纵波、横波、声表面波的速度；E,σ,ρ分别为弹性模量、泊松比、密度。虽然上述公式可以作为温度升高声速降低的理论依据,但是理论公式无法给出温度与速度的线性关系,下文通过数值模拟的结果进行声速随温度变化的定量分析。

3.1.1 纵波声速随温度变化的关系

随着温度的升高,铝材料参数的整体趋势为弹性模量、密度下降,泊松比上升。材料参数弹性模量、泊松比、密度与温度的变化均为线性关系。由热膨胀引起的材料密度的变化对声速变化影响较小,可忽略,主要取决于E、σ。根据整体数据点可知,温度的逐渐升高,纵波声速呈现线性的衰减。因为对于纵波声速VL而言,由公式(13)可知泊松比与弹性模量的影响都较大。因此,当弹性模量、泊松比分别随着温度发生线性降低与增加时,纵波声速表现为线性降低。

为了更好地反映出纵波声速与温度的关系,可采用直线拟合来反映出纵波声速随温度的变化情况,根据所得到的数据点进行拟合,结果如图5所示。

图5 纵波声速随温度的变化

因此,采用线性回归方程来进行拟合,就可以得到不同温度下的纵波声速变化规律。即有:

VL=-0.8374t+6335

(16)

式中，VL为纵波声速/(m·s-1)；t表示为所加载的初始温度/℃。纵波声速随温度的变化率为0.8374 m·s-1· ℃-1。

3.1.2 横波声速随温度变化的关系

根据整体数据点可知,温度的逐渐升高,横波声速呈现线性的衰减。对于横波波速VS而言,由公式(14)可知σ的影响很小,横波速度VS基本取决于材料的弹性模量,当弹性模量随温度变化时逐渐降低时,横波声速表现为线性降低。

根据横波声速随温度变化的数据点进行拟合,结果如图6所示。

图6 横波声速随温度的变化

可以得到关于横波声速随温度变化的表达式,即有:

Vs=-1.203t+3138

(17)

式中,VS为横波声速/(m·s-1)；t表示为所加载的初始温度/℃。横波声速随温度的变化率为1.203 m·s-1· ℃-1。

3.1.3 声表面波声速随温度变化的关系

对于声表面波声速VR而言,随着温度的升高同样呈线性降低,根据公式(15)可知σ的影响很小,因此声表面波声速与横波声速近似为线性关系,衰减的速率差不多。

根据声表面波声速随温度变化的数据点进行拟合,结果如图7所示。

图7 声表面波声速随温度的变化

根据拟合的结果可以得到关于声表面波声速随温度变化的表达式,即有:

VR=-1.096t+2934

(18)

式中,VR为声表面波声速/(m·s-1)；t表示为所加载的初始温度/℃。声表面波声速随温度的变化率为1.096 m·s-1· ℃-1。

由公式(13)可知单独考虑泊松比时,随着温度升高,纵波声速是逐渐增加的。所以,整体而言,声表面波与横波声速随温度的变化率差不多,而纵波声速随温度变化率是最缓慢的。

3.2 高温下的泊松比和弹性模量的计算

考虑到超声波声速与弹性模量、泊松比之间的关系,为了验证数值模拟得到的超声波声速随温度变化的表达式的正确性。本文通过将初始温度设置为500 ℃时,根据公式(16)、(17)、(18)所得到声速与温度之间的关系,将初始温度带入计算可得VR、VS、VL的速度。根据速度VR、VS代入公式(15)求得泊松比σ。根据文献[9]可查的材料铝的密度与温度之间的关系式:ρ=2769-0.22×T(kg·m-3),T是铝中的温度(K)。从而根据密度、泊松比、纵波或横波的速度之间的关系式(13)、(14)即可求得弹性模量E。所得结果表3所示。

表3 泊松比和弹性模量的理论值与数值解

由表3可以看出,当初始温度设置为500 ℃时,根据数值模拟所得到超声波声速与温度的公式,反推得出的泊松比、弹性模量的数值解与文献[10]所给出的理论值误差很小,其泊松比、弹性模量的误差分别为3.16%、4%。数值结果与理论值具有很好的一致性。

4 结 论

本文采用数值模拟的方法得到了在20～450 ℃下纵波、横波、声表面波速度随温度变化的计算公式,发现超声波声速随温度的升高为线性降低,声速分别衰减幅度为5.74%、16.7%、16.2%。横波速度下降速率最快,声表面波速度次之,纵波降低最慢,随温度的变化率分别为0.8374 m·s-1· ℃-1、1.203 m·s-1· ℃-1、1.096 m·s-1· ℃-1。

根据所得到的不同温度下声速理论计算公式,计算出铝在500 ℃时的泊松比与弹性模量,与理论值相比较计算精度分别达到了96.84%、96%,验证了计算模型的准确性。通过得到不同温度下声速的变化情况,可以定性定量分析高温下缺陷的尺寸与表征材料特性,也为高温下估算泊松比和弹性模量提供了一种十分有效的思路。