“超级全能生”2018年高考全国卷26省3月联考乙卷数学(文科)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

( )

A．{x|x≥1} B．{x|1

C．{x|1≤x<2} D．{x|x>0}

2．设复数z满足z(1-i)=2i，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于

( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．公元263年，中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆”之说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣.”意思就是“圆内接正多边形的边数无限增加的时候，它的周长的极限是圆的周长，它的面积的极限是圆的面积.”如图，若在圆内任取一点，则此点取自其内接正六边形ABCDEF的概率是

( )

( )

C．y=sinx-xD．y=x-cosx

( )

A．y=2x+1

D．y=ln(x+3)

( )

A．2 017 B．-2 017 C．1 D．-1

7．已知圆C的圆心在y轴上，点M(3,0)在圆C上，且直线2x-y-1=0经过线段CM的中点，则圆C的标准方程是

( )

A．x2+(y-3)2=18 B．x2+(y+3)2=18

C．x2+(y-4)2=25 D．x2+(y+4)2=25

( )

9．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，M是PC上一点，欲使AM⊥BC，可以增加的条件是

( )

A．AB⊥BC

B．AM⊥PC

C．AB⊥AC

D．PC⊥BC

( )

( )

A．(1,3) B．(1,2)∪(3,+∞)

C．(2,3) D．(0,1)∪(3,+∞)

12．已知抛物线C：y2=2x和点P(2,2)，A，B是C上异于点P的两点，直线PA，PB的斜率分别为kPA,kPB满足kPA+kPB=2，则直线AB过定点

( )

A．(1,0) B．(-1,0) C．(0,-1) D．(0,0)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知向量a=(1,2),b=(-3,4)，则(2a-b)·b=________.

14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.

⑤数列{an}中最小的项为a4．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题:共60分.

17.(12分)

(Ⅰ)求角A的值；

18．(12分)

如图，在四棱锥S-ABCD中，SD⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，E，F分别是SB，CD的中点．

(Ⅰ)求证：EF∥平面SAD；

(Ⅱ)设SD=AD=3,AB=4，求三棱锥F-SAB的高．

19．(12分)

2016年1月21日《人民日报》刊登的文章《阅读微信 谨防病态》中说我国公民读书时间不多，可读微信的时间，恐怕在世界上都数一数二.为此某团体在某市随机抽取了a名公民，调查这些公民一天的微信阅读时间(单位：分钟)得到如图的频率分布表和频率分布直方图：

微信阅读时间(单位:分钟)[0,50](50,100](100,150](150,200]人数1540b10

(Ⅰ)根据所给频率分布表和频率分布直方图中的信息求出a,b的值，并将频率分布直方图补充完整；

(Ⅱ)根据(Ⅰ)中的频率分布直方图算出样本数据的中位数；

(Ⅲ)在[0,50]和(150,200]这两组中采用分层抽样的方法抽取5人，再从5人中随机抽取2人，求抽取的2人来自不同组的概率．

20．(12分)

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)设点B为椭圆E的上顶点，e为椭圆E的离心率，直线l交椭圆E于C，D(均异于B点)，且BC，BD的斜率之积等于e2，求直线l的斜率的取值范围．

21．(12分)

(Ⅱ)当a<1时，函数f(x)恰有两个零点，求实数a的取值范围．

(二)选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)

(Ⅰ)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

23．[选修4-5：不等式选讲](10分)

已知函数f(x)=|x-a|.

(Ⅰ)若f(x)≤b的解集为[-1,1]，求实数a,b的值；

(Ⅱ)当a=-2时，不等式f(x-5)≥f(x)-t2+4t对于一切实数x都成立，求实数t的取值范围.

参考答案

1.A2.B3.D4.B5.C6.C7.C8.C9.D

10.A11.B12.C13．-1514．2π15．816．①③④

(3分)

(4分)

(5分)

(6分)

(9分)

(11分)

(12分)

18．解：(Ⅰ)证法一：取SA的中点M，连接ME，DM.

(1分)

∵E是SB的中点，

(2分)

∵底面ABCD是矩形，F是CD的中点，

∴DF

(3分)

∴DF∥ME，DF=ME，

∴四边形MEFD为平行四边形，

(4分)

∴EF∥MD，

(5分)

∵EF⊄平面SAD，MD⊂平面SAD，

∴EF∥平面SAD．

(6分)

证法二：取SC的中点G，连接EG，FG，

(1分)

∵E,G分别是SB,SC的中点，

∴EG∥BC，

(2分)

∵BC∥AD，∴EG∥AD，

(3分)

∵EG⊄平面SAD，AD⊂平面SAD，

∴EG∥平面SAD，

同理FG∥平面SAD，

(4分)

∵EG∩FG=G，∴平面EFG∥平面SAD，

(5分)

∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面SAD．

(6分)

(Ⅱ)解法一：取SA的中点M，连接ME，DM.

∵SD⊥平面ABCD，AD,AB⊂平面ABCD，

∴SD⊥AD，SD⊥AB，

(7分)

∵SD=AD=3，

(8分)

∵底面ABCD是矩形，∴AD⊥AB，

又SD∩AD=D，∴AB⊥平面SAD，

(9分)

又DM⊂平面SAD，

∴DM⊥AB，

(10分)

又SA∩AB=A，

∴DM⊥平面SAB，

(11分)

由已知，易得DF∥平面SAB，

∴DM即为三棱锥F-SAB的高，

(12分)

解法二：∵底面ABCD是矩形，F是CD的中点，

AD=3,AB=4，

(7分)

∵SD⊥平面ABCD，

(8分)

易证SA⊥AB，

(9分)

设三棱锥F-SAB的高为h，

(10分)

(11分)

(12分)

∴a=100，

(1分)

又∵15+40+b+10=100，∴b=35；

(2分)

∴频率分布直方图中(50,100]对应矩形的高为

(3分)

(4分)

(5分)

补全频率分布直方图，如图所示:

(6分)

(Ⅱ)∵0.003×50=0.15，0.008×(100-50)=0.4，

0.15+0.4>0.5，

(7分)

(8分)

(Ⅲ)∵微信阅读时间在[0,50]和(150,200]的人数的比值为15∶10=3∶2，

(9分)

∴采用分层抽样抽取5人，其中微信阅读时间在[0,50]中的人数为3，分别记为a,b,c，微信阅读时间在(150,200]中的人数为2，分别记为A,B，

(10分)

则从5人中随机抽取2人所包含的基本事件有ab,ac,aA,aB,bc,bA,bB,cA,cB,AB共10种，其中2人来自不同组的基本事件有aA,aB,bA,bB,cA,cB共6种，

(11分)

(12分)

(2分)

(3分)

(4分)

(1分)

(2分)

(3分)

(4分)

(5分)

故直线l的斜率不等于零，

(6分)

可设直线l的方程为x=ty+m(t≠0)，代入椭圆方程，

得(2t2+3)y2+4mty+2m2-12=0.

设C(x1,y1),D(x2,y2)，

(7分)

即3(y1-2)(y2-2)=x1x2=(ty1+m)(ty2+m)，

整理得(t2-3)y1y2+(tm+6)(y1+y2)+m2-12=0，

(8分)

即12t2+8tm+m2=0，

∴m=-2t或m=-6t，

(9分)

当m=-2t时，直线l的方程为x=ty-2t，该直线过点B，不合题意；

当m=-6t时，直线l的方程为x=ty-6t．

(10分)

∵直线l与椭圆E交于不同的两点，

∴方程(2t2+3)y2+4mty+2m2-12=0有两个不相等的实根，

∴Δ=(4mt)2-4(2t2+3)(2m2-12)=-24(m2-4t2-6)=-24(32t2-6)>0，

(11分)

(12分)

(2分)

(4分)

∴函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为

y-1=0.

(5分)

(6分)

②当a<0时，若f′(x)<0，则00，则x>1，

∴f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,+∞)上是增函数，

(7分)

∴当x=1时，

(8分)

∵当x→0时，f(x)→+∞；当x→+∞,f(x)→+∞，

(9分)

③当0

若f′(x)>0，则01，

若f′(x)<0，则a

∴f(x)在(a,1)上是减函数，在(0,a)，(1,+∞)上是增函数，

(10分)

∴当x=a时，

∴f(x)在(0,+∞)上没有两个零点，不合题意，

(11分)

(12分)

(2分)

(4分)

(5分)

则点P到曲线C2的距离

(6分)

(7分)

(8分)

(9分)

(10分)

23．解：(Ⅰ)∵|x-a|≤b，∴a-b≤x≤a+b，

(2分)

(4分)

∴a=0，b=1.

(5分)

(Ⅱ)当a=-2时，不等式f(x-5)≥f(x)-t2+4t对于一切实数x都成立，

即|x-3|≥|x+2|-t2+4t恒成立，

即t2-4t≥|x+2|-|x-3|恒成立.

(6分)

∵|x+2|-|x-3|≤|(x+2)-(x-3)|=5，

当且仅当x≥3时，等号成立，

(7分)

∴|x+2|-|x-3|的最大值为5，

(8分)

∴t2-4t≥5，即t≤-1或t≥5．

(9分)

故实数t的取值范围为(-∞,-1]∪[5,+∞).

(10分)