三问三思，丝丝入扣——谈如何完整有效地解决含参导数的单调性

浙江 万小梅

在数学知识体系中，导数是解决函数单调性和最值等问题十分有效的工具，也是新高考中必考的一类题型，时常有参数介入，无形中增加了试题的难度，是学生失分多且不易攻破的难点，而它主要难在学生解决含参导数问题时思维紊乱，讨论时缺乏条理性和完整性.导数问题的运用中，单调性的分析是解答问题的“必经之路”，在知晓定义域的前提下对函数求导，便面临着对参数的讨论，如何才能准确且有效地解决这类问题?事实上，这类含参问题看似复杂，但都是程序思维，可以形式化处理.这里笔者从“三问”入手，就如何全面理清含参导数的单调性问题谈谈自己在实际教学中的一些认识，以期引起读者思考.

解题程序图如下：

下面就实例谈谈具体的做法.

解：先确定函数定义域，求导，导函数通分、因式分解到最简.

由已知，定义域为(0，+∞),

一问：导数有没有解.引发以下思考：当ax2-2=0没有解时，则导函数的根完全由(x-1)决定；如果有解，则会出现除1以外的根，故要对a与0的大小进行讨论，讨论结果如下：

当a≤0时，ax2-2<0,且当f′(x)=0时，x=1，

则f′(x)>0得x<1,即f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减.

二问：解有没有用.解有没有用主要是在解出导数方程的根后，对根是否在函数的定义域内进行判断，若所得根满足定义域则等待下一步讨论；若所得根不在定义域范围内，则舍去.

三问:解谁大谁小.在得到两个或两个以上的根时，为确定根与根之间的大小可对a再次讨论，如下：

综上,当a≤0时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，

当a=2时，f(x)在(0，+∞)上单调递增，

此题对a进行的四次讨论，因“三问”变得条理清晰，不仅能自然地引发学生思考，且很好地避免了重复和遗漏的现象，整个过程是一个严密的程序思维，学生容易掌握.

解：由已知，定义域为(0，+∞)，

当a≠0时，Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1).

①当a>0时，x1<0且x2<0，即f′(x)=0在(0，+∞)上无解,即f′(x)>0,则f(x)在(0，+∞)上单调递增.

上面两个单调性的讨论，三问三思，整个过程环环相扣，三个问题看似简单，其实充斥着大量的思维训练，例1中导函数求解后，能够因式分解，便直接进入二、三问；而例2中，导函数方程不能简单的因式分解，则在问题提出后，开始问与思的互动过程：

导函数方程没有办法求解的问题也可以用这样的方式去问，引发思考从而达到完整解答的目的.

解：由已知，f(x)-g(x)≥0恒成立,

即6xex-1-4a+3-2ax3-3x2+6(a-1)x≥0,

令h(x)=6xex-1-4a+3-2ax3-3x2+6(a-1)x,

则h′(x)=6(x+1)(ex-1-ax+a-1), (1)

令t(x)=ex-1-ax+a-1，则t(1)=0,

t′(x)=ex-1-a, (2)

当a≤1时，t′(x)≥0,则t(x)在(1，+∞)上单调递增,

所以t(x)>0,则h′(x)>0，即h(x)在(1，+∞)上单调递增,又h(1)=0,则h(x)≥0恒成立.

当a>1时，解t′(x)=0,即ex-1=a，得x0=1+lna∈[1,+∞),

则t(x)在(1，1+lna)上单调递减，在(1+lna,+∞)上单调递增，

又t(x0)<0,则存在x′，使得h′(x′)=0，当h′(x′)>0时，得x>x′，

所以h(x)在(1，x′)上单调递减，在(x′,+∞)上单调递增,

所以h(x)min=h(x′)

综上a≤1.

题目中构造的函数相对比较复杂，所以导函数化到最简的重要性也体现出来，如(1)，在(1)中的两个因式，x+1>0,而ex-1-ax+a-1是由两个不同类函数(一次函数与指数函数)构成，比较难求解，但是“看”出了x=1是其中一根，这里自然需要讨论是否存在另外的根，下面的讨论也很自然，构造新函数并二次求导(如(2))，即分析出ex-1-ax+a-1=0有两个根，并且能比较大小，后面的解答也就水到渠成，整个分析过程充分体现了“三问三思”在解决问题时体现的条理性和完整性.