全国卷Ⅰ导数命题热点深度分析

湖北 张金娥 廖庆伟

函数与导数在高考试卷中形式新颖且呈现出多样性，涵盖了选择题、填空题及解答题.客观题主要以考查函数的基本性质、函数图象及变换、函数零点、导数的几何意义、定积分等为主，也曾与不等式等知识综合考查；解答题主要是以导数为工具解决函数、方程、不等式等应用问题.

其命题特点包含了以下多个角度.

①全方位：题型全，虽然高考不强调知识点的覆盖率，但函数知识点的覆盖率依然没有减小.

②多层次：低档题、中档题、高档题层次分明，从题序中就能判断出来.

③巧综合：突出函数在中学数学中的主体地位，强化了函数与其他知识的渗透，加大了以函数为载体的多种方法、多种能力(包括阅读能力、理解能力、表述能力、信息处理能力)的综合程度.

④变角度：函数应用题、探索题、开放题和信息题的考查，使函数考题新颖、生动、灵活.

⑤重能力：以导数为背景与其他知识(如函数、方程、不等式、数列等)交汇命题，综合考查学生分析问题、解决问题的能力和数学素养.

考点透视1 导数的几何意义

导数的几何意义把函数的导数与曲线的切线联系在一起，利用导数的几何意义破解曲线的切线问题属于高考的高频考点. 2017年高考题中考查在某点的切线方程的有：全国卷Ⅰ文第14题、全国卷Ⅲ文第20(Ⅰ)题、北京卷文第20(Ⅰ)题、北京卷理第19(Ⅰ)题、山东卷理第20(Ⅰ)题、天津卷文第10题，第19(Ⅱ)题.

【解题技巧】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切线的斜率.

求曲线切线方程的一般流程：

【跟踪练习】

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考点透视2 函数的单调性

函数的单调性是函数在定义域内局部的性质，因此利用导数研究函数的单调性要先考虑函数的定义域，再利用导数在定义域内的符号来判断函数的单调性，某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果能挖掘其内在联系，抓住其本质，运用函数的单调性解题，就能起到化难为易、化繁为简的作用.利用导数破解函数的单调性属于高考高频考点和热点.

2017年高考题中考查讨论函数单调性的问题有：全国卷Ⅰ文第21(Ⅰ)题、全国卷Ⅱ文第21(Ⅰ)题、全国卷Ⅲ文第21(Ⅰ)题、天津卷文第19(Ⅰ)题、全国卷Ⅰ理第21(Ⅰ)题、山东卷理第20(Ⅱ)题、天津卷理第20(Ⅰ)题、全国卷Ⅲ理第21(Ⅰ)题.

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解法二：①当t=0时，不等式恒成立；

【解题技巧】已知函数单调性，求参数范围的两个方法:

①利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.

②转化为不等式的恒成立问题：即“若函数f(x)单调递增，则f′(x)≥0；若函数f(x)单调递减，则f′(x)≤0”.

f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.

导数法求函数f(x)的单调区间的一般流程：

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例3.(2017·全国卷Ⅰ理·21节选)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x(a∈R).讨论f(x)的单调性.

【解析】由已知得f(x)的定义域为(-∞,+∞)，f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1)，

①若a≤0，则f′(x)<0，所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递减.

②若a>0，则由f′(x)=0得x=-lna.

当x∈(-∞,-lna)时，f′(x)<0；当x∈(-lna,+∞)时，f′(x)>0，

所以f(x)在(-∞,-lna)上单调递减，在(-lna,+∞)上单调递增.

综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递减；

当a>0时，f(x)在(-∞,-lna)上单调递减，在(-lna,+∞)上单调递增.

【解题技巧】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间.在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点.用导数求函数的单调区间，突破口是讨论导数的符号.注意：区间的端点可以属于单调区间，也可以不属于单调区间，对结论没有影响.写单调区间时，不要使用符号“∪”，可以用“，”“和”分开各区间，原因是各单调区间用“∪”连接的条件是在合并后的区间内函数单调性依然成立.要特别注意的是，涉及含参数的单调性或单调区间的问题，一定要弄清参数对导数f′(x)在某一区间内的符号是否有影响.若有影响，则必须分类讨论.

【跟踪练习】设函数f(x)=2ax2+(a+4)x+lnx.讨论函数f(x)的单调区间.

①当a≥0时，对任意x>0，f′(x)>0，

所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).

考点透视3 函数的极值与最值

用导数研究函数的极值与最值是高考命题的重要考点.2017年高考题中考查求函数的极值、最值的有：山东卷文第20(Ⅱ)题、北京卷文第20(Ⅱ)题、山东卷理第20(Ⅱ)题、全国卷Ⅱ理第11题、第21(Ⅱ)题.2017年高考题中考查求参数的取值范围的有：江苏卷第11题.

例4.(2005·全国卷Ⅰ文·3)函数f(x)=x3+ax2+3x-9，已知f(x)在x=-3时取得极值，则a=

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A.2 B.3 C.4 D.5

【解析】将函数f(x)求导得f′(x)=3x2+2ax+3，

因为函数f(x)在x=-3时取得极值，所以f′(-3)=3×(-3)2+2a×(-3)+3=0，即a=5，故选D.

【解题技巧】可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件.利用导数研究函数极值的一般流程：

【跟踪练习】已知函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________.

【解析】因为函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1既有极大值又有极小值，

所以f′(x)=3x2+6ax+3(a+2)有两个极值点，

即方程3x2+6ax+3(a+2)=0有两个不同的实数根，

所以Δ=36a2-4×3×3(a+2)>0，解得a<-1或a>2.

故实数a的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).

例5.(2011·全国卷Ⅰ文·21)已知函数f(x)=x3+3ax2+(3-6a)x+12a-4，a∈R.

(Ⅰ)证明：曲线y=f(x)在x=0处的切线过点(2,2)；

(Ⅱ)若f(x)在x=x0处取得最小值，x0∈(1,3),求a的取值范围.

【解析】(Ⅰ)因为f(x)=x3+3ax2+(3-6a)x+12a-4，所以f′(x)=3x2+6ax+3-6a，

所以f′(0)=3-6a，即f(x)在x=0处的切线的斜率k=3-6a，

又f(0)=12a-4，所以曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y-(12a-4)=(3-6a)(x-0)，

即(3-6a)x-y+12a-4=0，令x=2，则y=2(3-6a)+12a-4=2，

所以曲线y=f(x)在x=0处的切线过点(2,2).

(Ⅱ)由f′(x)=0得x2+2ax+1-2a=0.

【解题技巧】在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.若函数f(x)在[a,b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a,b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念.

【跟踪练习】已知函数f(x)=xlnx.则f(x)在区间[t,t+2](t>0)上的最小值为__________.

【解析】函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f′(x)=lnx+1，

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x0,1e 1e1e,+∞ f'(x)-0+f(x)单调递减极小值单调递增

考点透视4 与函数零点有关的问题

用导数研究函数的零点问题是高考命题的热点.2017年高考题中考查函数零点求参数的值或取值范围的有：全国卷Ⅲ文第12题、全国卷Ⅰ理第21(Ⅱ)题、全国卷Ⅲ理第11题.

例6.(2014·全国卷Ⅰ理·11)已知函数f(x)=ax3-3x2+1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是

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A.(2,+∞) B.(1,+∞)

C.(-∞,-2) D.(-∞,-1)

所以实数a的取值范围是(-∞,-2),故选C.

解法二：因为f′(x)=3ax2-6x，当a=3时，f′(x)=9x2-6x=3x(3x-2)，

不符合题意，排除A，B；

不符合题意，排除D，故选C.

【解题技巧】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法：

①直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.

②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.

③数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.

【跟踪练习】函数y=ex-mx在区间(0,3]上有两个零点，则实数m的取值范围是________.

例7.(2016·全国卷Ⅰ理·21)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.

(Ⅰ)求a的取值范围；

(Ⅱ)设x1，x2是f(x)的两个零点,证明：x1+x2<2.

【解析】(Ⅰ)f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)·(ex+2a),

①设a=0,则f(x)=(x-2)ex，f(x)只有一个零点,

②设a>0,则当x∈(-∞,1)时,f′(x)<0；当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0,

所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,

故f(x)存在两个零点.

③设a<0,由f′(x)=0得x=1或x=ln(-2a).

又当x≤1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点.

因此f(x)在(1,ln(-2a))上单调递减，在(ln(-2a),+∞)上单调递增.又当x≤1时,f(x)<0，

所以f(x)不存在两个零点.

综上，a的取值范围为(0,+∞).

(Ⅱ)不妨设x1f(2-x2)，即f(2-x2)<0.

由于f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2，而f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0，

所以f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2.

设g(x)=-xe2-x-(x-2)ex，则g′(x)=(x-1)·(e2-x-ex).

所以当x>1时，g′(x)<0，而g(1)=0，故当x>1时，g(x)<0.

从而g(x2)=f(2-x2)<0，故x1+x2<2.

【解题技巧】对于含有参数函数的单调性、极值、零点问题，通常要根据参数进行分类讨论，要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；解决函数不等式的证明问题的思路是构造适当的函数，利用导数研究函数的单调性或极值.

考点透视5 函数图象问题

函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性.归纳起来图象的应用常见的命题角度有：研究函数的性质；确定方程根的个数；求参数的取值范围；求不等式的解集.

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【解析】因为y=f(x)的定义域为{x|x>-1且x≠0}，排除D；

所以当x∈(-1,0)时，f′(x)<0，即y=f(x)在(-1,0)上是减函数；

当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，即y=f(x)在(0,+∞)上是增函数.排除A，C，故选B.

【解题技巧】函数图象的识辨可从以下方面入手：

①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；

②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

③从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

④从函数的周期性，判断图象的循环往复；

⑤从函数的特征点，排除不符合要求的图象.

【跟踪练习】设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)，若函数y=f(x)ex在x=-1处取得极值，则下列图象不可能为y=f(x)的图象是

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【解析】由y=f(x)ex=ex(ax2+bx+c)可得y′=ex[ax2+(b+2a)x+b+c]，

当x=-1时，函数y=f(x)ex取得极值，所以-1是方程ax2+(b+2a)x+b+c=0的一个根，

所以a-(b+2a)+b+c=0，即c=a，所以函数f(x)=ax2+bx+a，

由此得函数f(x)相应方程f(x)=ax2+bx+a=0两根之积为1，对照四个选项，D不成立，故选D.

考点透视6 恒成立(或存在性)问题

以函数为背景用导数研究恒成立问题是高考命题的高频考点.常常与其他知识(如函数、方程、不等式、数列等)交汇命题.利用导数解决相关问题，是命题的热点，而且不断丰富创新.解决该类问题要注意函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想的应用.

2017年高考题中考查由不等式恒成立求参数的取值范围的有：全国卷Ⅰ文第21(Ⅱ)题、全国卷Ⅱ文第21(Ⅱ)题、天津卷文第19(Ⅱ)题、江苏卷第11题.

2017年高考题中考查不等式证明的有：天津卷理第20(Ⅱ)题、全国卷Ⅱ理第21(Ⅱ)题、江苏卷第20(Ⅱ)题、全国卷Ⅲ文第21(Ⅱ)题.

(Ⅰ)设a>0，讨论y=f(x)的单调性；

(Ⅱ)若对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1，求实数a的取值范围.

【解析】(Ⅰ)因为f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).

所以令f′(x)>0，即ax2+(2-a)>0，

①当00，解得x∈(-∞,1)，(1,+∞)，

所以f(x)在(-∞,1)，(1,+∞)上单调递增.

(Ⅱ)(ⅰ)当0f(0)=1;

综上当且仅当a∈(-∞,2]时，对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1.

【解题技巧】本题通过作差构造函数，分析其单调性、最值，得出函数值恒大于或小于0，使问题得证.对于恒成立问题，其根本思想是 “转化”，而转化有两种方法：分离参数法和不分离参数法，对于不等式试验区间端点值成立的情形，一般采用不分离参数法，相比分离参数法操作简单，可以视不同情形，选择不同的方法.

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A.[0,1)∪(1,+∞) B.(0,+∞)

C.(-∞,0]∪(1,+∞) D.(-∞,1)∪(1,+∞)

当a<0时，f′(x)>0，f(x)在x>0上单调递增，当x趋近于0时,f(x)不恒大于0，不成立，

当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，+∞)上单调递增，

所以f(x)min=f(a)=a2-a-alna=a(a-1-lna)，

g(a)min=g(1)=0，故当a>0且a≠1时，f(x)>0，

综上，a的取值范围是[0,1)∪(1,+∞)，故选A.

(Ⅰ)求b；

【解题技巧】含有字母时，常需要分类讨论，分类时要做到不重不漏.存在性不等式问题常用的解题技巧：

若存在x1∈[a,b]，对于任意的x2∈[m,n]，使得f(x1)≤g(x2)⟺f(x1)max≤g(x2)min.

若存在x1∈[a,b]，对于任意的x2∈[m,n]，使得f(x1)≥g(x2)⟺f(x1)min≥g(x2)max.

若存在x1∈[a,b]，总存在x2∈[m,n]，使得f(x1)≤g(x2)⟺f(x1)min≤g(x2)max.

若存在x1∈[a,b]，总存在x2∈[m,n]，使得f(x1)≥g(x2)⟺f(x1)max≥g(x2)min.

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【解析】由题意知，函数f(x)表示动点M(x,2lnx)和动点N(a,2a)间的距离的平方，其中动点M(x,2lnx)在函数y=2lnx的图象上，动点N(a,2a)在直线y=2x上，

问题可转化为求直线y=2x上的动点到曲线y=2lnx的最小距离，

此时点N(a,2a)恰好为垂足，

依据考试大纲说明，深度分析命题规律，结合高考命题信息，预测2018年高考对有关函数的综合题的考查，重在对函数与导数知识理解的准确性、深刻性，重在与方程、不等式、数列、解析几何等相关知识的相互联系，要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析问题能力以及较强的运算能力，体现以函数为载体，多种能力同时考查的命题思想.

1.定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意实数x，有f(x)>f′(x)，且f(x)+2 018为奇函数，则不等式f(x)+2 018ex<0的解集是

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A.(-∞,0) B.(0,+∞)

由于f(x)+2 018为奇函数，所以f(0)=-2 018，g(0)=-2 018，

所以不等式f(x)+2 018ex<0的解集是(0,+∞)，故选B.

2.已知函数f(x)=2x+alnx(a∈R).

(Ⅰ)f(x)在(2,f(2))处的切线与直线x-2y+4=0平行，求a的值；

即(4+a)x-2y-2a+2aln2=0，

因为f(x)在(2,f(2))处的切线与直线x-2y+4=0平行，

所以4+a=1，解得a=-3.

当a≤e时，因为x≥1,ex-a≥0，g′(x)≥0，g(x)在(1,+∞)上是增函数，

所以当x≥1时，g(x)≥g(1)=e-a≥0，符合.

当a>e，x>lna时，g′(x)>0，当1

所以g(x)在(lna,+∞)上是增函数，在(1,lna)上是减函数，

当1

综上所述，实数a的取值范围为(-∞,e].

(Ⅰ)若函数f(x)在(1,+∞)上为减函数，求实数a的最小值；

(Ⅱ)若存在x1,x2∈[e,e2]，使f(x1)≤f′(x2)+a成立，求实数a的取值范围.

【解析】(Ⅰ)由已知得x>0，x≠1.

(Ⅱ)命题“若存在x1,x2∈[e,e2]，使f(x1)≤f′(x2)+a成立”等价于“当x∈[e,e2]时，f(x)min≤f′(x)max+a”，

(ⅰ)当-a≥0，即a≤0时，f′(x)≥0在[e,e2]恒成立，故f(x)在[e,e2]上为增函数，

存在唯一x0∈(e,e2)，使f′(x)=0，且满足：

当x∈(e,x0)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(x0,e2)时，f′(x)>0，f(x)为增函数；