一道圆锥曲线试题的多解、变式与延伸

甘肃 李旺强 董 强

对于数学问题的解答，选择恰当的审视角度进行有效的知识对接，是解决数学问题的关键所在.在平时的习题教学中，执教老师对课本例、习题要进行深入的挖掘，在探究其多种解法的同时，对试题进行适当的变式与相关的拓展，对应链接来进一步开阔学生的视野，让学生从不同的角度来体会相同背景下的相同(相似)问题、不同背景下的不同(相似)问题、相同背景下的不同(相似)问题、不同背景下的相同(相似)问题的求解策略，就很容易生成清晰的解题思路，自然就会得到最优化的解题方案，进而提升学生的思维能力.

当学生问及此题时，从他们的交谈中发现，学生不会做或者做不全这道题的根本原因有两个方面.

(1)对题目审视不严，没有明白题目的设计意图和考查要求，不能将题目中所呈现的已知条件和所学知识进行有效的结合，尤其是对一些数学思想(如数形结合、转化与化归等)不能融会贯通.

(2)对于与圆锥曲线相关的题目，学生本身有一种畏惧感，由于此类题目运算量较大，思维比较抽象，难度本身也较大，因此学生总是把这类题目复杂化，进而导致解题思路发生偏移.

针对学生面临的困境，引领学生再次阅读题目，并告诫他们面对数学问题首先要学会“审”，也就是要审清题目的意图和考查动向；其次要“思”，就是通过审题要抓住题目中的有效条件展开思考，寻求解决方案；再次要“辨”，就是对思考中所形成的解题思路和方案要进行辨析，从中选择最优解法.

一、多视角审题、学生解法展示

【解法一】

所以(2x0-3)(x0+6)=0,

【解法二】

【解法三】

因为PA⊥PF，所以在直角三角形APF中，有PA2+PF2=AF2,

经过上述三位学生的解法展示，从中可以发现学生1提供的解法一是由条件PA⊥PF联想到直线垂直时的斜率关系，学生2由条件PA⊥PF构造了向量的数量积，学生3由条件PA⊥PF出发，根据直角三角形利用勾股定理，显然三种解法中唯有学生2提供的最为简便，但纵观三种解法，它们的突破口都是由条件PA⊥PF出发，进行多角度的联想与构造，体现了同一学科不同内容之间的交融性.

二、变式提升

变式1(变条件) 将上述问题中的条件“位于x轴的上方”去掉，其余条件不变.

变式2(变条件) 将上述问题中的条件“PA⊥PF”改为“S△PAF=10”，求P的坐标.

变式4(变条件) 将变式3中的条件“P为右支上一点，位于x轴上方”改为“P为右支上一点”，其余条件不变，求P的坐标.

变式5(变条件) 将变式3中的条件“P为右支上一点，位于x轴上方”改为“P为双曲线上任意一点”，其余条件不变，求P的坐标.(答案同变式4)

三、拓展延伸

延伸2： 等腰Rt△ABO内接于抛物线y2=2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB,求△ABO的面积.答案:4p2.