对一道填空压轴题的解法探究及改编

☉浙江省宁波市海曙区龙观中心学校 凌剑峰

原题：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC.若AC=6，则四边形ABCD的面积为______.

分析：本题是2017年陕西省中考数学试卷第14题，填空的最后一题，求不规则图形的面积，但解法不唯一.此题着重考查了全等三角形的判定及其性质，可以通过作辅助线构造出正方形或者等腰直角三角形来达到转化的目的，运用了模型思想，而解题的关键是作出有效的辅助线.

思路一：转化成正方形

解：如图2，作AM⊥BC交BC于M，AN⊥CD，交CD的延长线于点N.

因为∠N=∠AMC=∠BCD=90°，

所以四边形AMCN为矩形，∠MAN=90°，

所以∠MAD+∠DAN=90°.

因为∠BAD=90°，

所以∠MAD+∠BAM=90°，

所以∠BAM=∠DAN.

又因为AB=AD，

所以△ABM≌△ADN（AAS），

所以AM=AN，S△ABM=S△ADN.

所以矩形AMCN为正方形，S四边形ABCD=S正方形AMCN.

图1

图2

所以S四边形ABCD=S正方形AMCN=（3）2=18.

思路二：转化成等腰直角三角形

解：如图3，过点A作AC的垂线交CD的延长线于点E，因为∠BAD=∠BCD=90°，所以∠CAB+∠CAD=90°，∠B+∠ADC=180°.

图3

因为∠EAD+∠CAD=90°，∠EDA+∠ADC=180°，

所以∠EAD=∠CAB，∠EDA=∠B.

又因为AD=AB，

所以△EAD≌△CAB（ASA），

所以AE=AC=6，S四边形ABCD=S△EAC，

所以△EAC是等腰直角三角形，

思路三：利用四点共圆、隐形圆

解：如图4，连接BD.

因为∠BAD=∠BCD=90°，

所以Rt△BAD和Rt△BCD的外接圆都是以BD的中点为圆心，BD长为直径，即A、B、C、D四点共圆，如图作出四边形ABCD外接圆.

因为AD=AB，

所以弧AD=弧AB，

所以∠ACD=∠ACB=45°.

作AM⊥BC交BC于点M，AN⊥CD，交CD的延长线于点N，

所以AN=AM，

所以Rt△AND≌△AMB（HL）.

后续计算过程同解法一，略.

解后反思：我们发现在原题的条件之下还有以下重要结论：①AC平分∠BCD，即∠ACD=∠ACB=45°；②S四边形ABCD=AC2；③DC+BC=AC.所以本题属于对一类对角互补的几何模型的考查.

图4

编题：已知△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，且AC=3，如图5所示，将△DEF直角顶点D与△ABC的斜边BC中点O重合，∠EDF绕点O旋转，边DE与边AB交于点M，边DF与边AC交于点N.

图5

（1）求证：OM=ON；

（3）如图6，若将等腰Rt△ABC的AC边长不变，AB变为4，把△DEF的直角顶点D移到Rt△ABC的斜边BC的三等分点处，其余条件不变，请直接写出DM∶DN的值.

图6

图7

解：（1）证明：如图8，连接OA，作OG⊥AB于G，OH⊥AC于H，

在等腰Rt△ABC中，O为BC的中点，

所以OA平分∠BAC，

所以OG=OH.

又因为∠OGA=∠GAH=∠AHO=90°，

所以四边形OGAH是正方形，所以∠GOH=90°，

所以∠GON+∠NOH=90°.

因为∠EDF=90°，所以∠GON+∠MOG=90°，

所以∠MOG=∠NOH.

又因为∠OGM=∠OHN=90°，

所以△OGM≌△OHN（ASA），所以OM=ON.

（2）连接MN，分OM在OG左右两侧，如图9、10.

图8

图9

图10

（3）解：①当D落在靠近B的三等分点P处时，如图11，易证△PGM∽△PHN，所以

图11

图12

②当D落在靠近C的三等分点Q处时，如图12，

编题反思：我首先利用两个全等的等腰直角三角形编制出与模型类似的证明题，把原中考题的条件作为结论考查学生，接着通过求出动△OMN的面积，确定OM的长，再利用勾股定理求出MG的长度，在此过程中注意分类讨论，AM最终有两个值，这点考查了学生综合分析能力；最后一问通过改变△ABC的形状及点D的位置，着重考查相似三角形的判定和性质，比例线段及分类讨论等.当然在解决最后一问的时候利用特殊位置来解题也不失为一种妙法.