一道中考填空压轴题的“源”与“流”*

☉山东省东营市教育科学研究院 尚凡青

☉山东省东营市胜利第六中学 于 彬

笔者习惯于每年中考结束后将各地市的中考试题认真研究一遍，在对2017年各地中考试题的研究过程中，嘉兴市中考试题的第15题（填空题的倒数第二题）引发了笔者的浓厚兴趣，下面对其解法进行分析并对其“源”与“流”给出一些初步的思考，不当之处，敬请指正.

一、试题呈现

图1

二、解法分析

视角1 规律探寻题的视角

规律探寻问题是很多地方中考的热点题型，甚至是必考题型，此题粗看属于规律探寻问题，题干中更是出现了“按此规律”的提示语，按此思路思考下去，此题必会完美解决.下面给出tan∠BA4C的计算过程：

过点C作CC4⊥A4B，垂足为C4（如图2）.

设△A4BC的边BC上的高为h，由题意得A4B·CC4=BC·h，

图2

至此，根据前四个（只看分母，分子都为1）可以很容易发现这一组数（1、3、7、13……）的规律，但是要写出这一组数的一个统一表达式对初中生而言还是有困难的，这组数进入高中后被称为“二阶等差数列”，下面给出两种求其统一表达式的方法.

方法一：设这组数的统一表达式为an，即a1=1，a2=3，a3=7，……，根据题意得an=an2+bn+c，可得解得所以an=n2-n+1，即

将上述各式相加得：a2-a1+a3-a2+a4-a3+···+an-an-1=2×［1+2+3+···+（n-1）］=n（n-1），

即an-a1=an-1=n（n-1），所以an=n2-n+1，即tan∠BAnC=

很明显上述两种方法对初中生而言在理解上是有一定难度的，那么能否用前述计算tan∠BA4C的方法，直接求出tan∠BAnC呢？答案是肯定的.

过点C作CCn⊥AnB，垂足为Cn（如图3）.

用同样的方法可在△BCAn和Rt△CnCAn中得

图3

此种方法学生可以理解，但是计算量较大，一不留神就会出错，不过冒昧揣测的话这应该是命题人期待的一种方法.

视角2 相似三角形的视角

下面给出一种初中生可以理解的方法，而且此种方法计算量非常小，但是“思维量”很大，属于“多思少算”的典型例题.

如图4，构造相似的基本图形，易得△BCAn∽△AnCDn，

所以∠BAnC=∠AnDnC，AnC2=BC·DnC，即（n-1）2+1=1×DnC，

所以DnC=n2-2n+2，所以DnEn=n2-2n+2+n-1=n2-n+1，

图4

视角3 高中三角函数公式（两角差的正切公式）

易得tan∠BAnEn=n，tan∠CAnEn=n-1，

三、“源”与“流”

笔者认为上述视角2的解法最为巧妙，那么这种解法是如何想到的呢？事实上，这种解法并不是“从天而降”，一方面源于学生对相似基本图形的熟练掌握，另一方面则来源于下面这个常见的练习题：

“源”：如图5是由三个大小相同的正方形拼成的矩形，证明△ACD∽△BAD.

图5

结合视角1和视角3，笔者给出如下变式练习：

“流”：如图6，把n个边长为1的正方形拼接成一排，tan∠AnOnC=________（用含n的代数式表示）.

图6

上述题目可以通过视角1和视角3（∠AnOnC=∠OnAnA+∠AnAOn）解决，特别地，当n=2时，即为一道中考试题，如下（图7中虚线为添加的辅助线，对应特例情况下的一种最简单方法）：

“源”：如图7，在由边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在小正方形的格点处，AB、CD相交于点P，则tan∠APC=_______.

图7

四、写在最后

本文对2017年的一道中考填空压轴题从三个不同的视角给出了几种解法，有的方法可能超出了初中生的理解范围（可以打“擦边球”），有的方法明确超纲了（比如视角3），那么哪个视角的哪种方法是命题人所期待的呢？值得一线教师深思，更期待命题人解密.

此外，针对这道中考试题也给出了一些“源”与“流”的初步思考，说明此题是有一定的“基础性”和“生命力”的，在考场上考生也不是“无从下手”的，越来越多的“网格类”的题目“走”进了中考考场，这需要一线教师足够重视.F