以“多边形的内角和”为例谈如何引导初中生合作学习

☉上海市民办张江集团学校 周巧仙

合作学习是最能发挥学生自主意识，培养学生合作精神的一种学习方法，下面笔者就以“多边形的内角和”一节的教学为例，探讨一下自己在教学中的实践.

一、教学过程简介

1.复习旧知，唤醒学生回忆

教师以PPT课件的形式投影各种建筑的图片，要求学生从中找到多边形的模型，并且要求学生回忆三角形的概念和性质.

在学生按照要求进行复习回顾之后，教师提出问题：怎样定义多边形？多边形的内角和有何规律？特殊多边形之间是否存在差别与联系？（启发学生将多边形和三角形进行类比并提出猜想.）

2.引导合作，提升探究效率

教师首先要求学生从类比着手，总结多边形的基本概念.这一过程中，教师要组织学生以小组合作的方式展开探索，进而在相互探讨中完善自己的认识.

当学生形成概念之后，教师提出问题，引导学生在更加深入的合作中探索：多边形的内角和规律.

问题1：结合三角形的内角和定理，你能说明四边形、五边形、六边形等图形的内角和吗？如果是n边形，结果又如何？

问题2：如何构建辅助线，进而求解出内角和的性质？

问题3：如果不借助对角线，是否还有其他方法来研究内角和的性质？

三个问题搭建出螺旋式上升的阶梯，引导学生向着较为本质的方向发展自己的认识.最后，教师组织学生在讨论中完成对性质的概括，由此引出多边形内角和定理.

3.趁热打铁，巩固所学内容

教师安排习题：（1）请确定九边形内角和；（2）已知某多边形的内角和等于1260°，求这个多边形是几边形？

学生独立思考，并在合作交流中分享自己对问题的认识，最后教师组织学生总结课堂所学，并安排课后作业.

二、合作学习细节的探讨

在本节课上，合作学习应该是最主要的学习方式，教师要关注学生在整个过程中的诸多细节，及时发现学生暴露出的问题，并进行引导和启发.

1.通过类比法来探索概念

多边形对学生来说是一个相对陌生的存在，与之对应，三角形却是一个非常熟悉的概念.在这样的前提下，类比法成功引导学生将两种模型联系起来，结合三角形的概念来认识多边形的概念.在探索概念时，教师要鼓励学生积极展开思考和对比，进而对多边形形成较为深入的认识.

师：你们还记得三角形是怎样定义的吗？

生：三角形是不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接而成的封闭性图形.

师：三角形有几条线段组成？

生：三条.

师：在刚才所呈现的图片中，我们所看到图形的边也是三条吗？

生：不是，有的是四条边，有的是五条边.

师：在数学研究中，我们将三条或三条以上线段组成的图形称为多边形.今天我们要研究的对象是多边形，而三角形就是其中最简单的一种.如果一个多边形由四条线段组成，你说它叫什么形？

生：四边形.

师：如果是由五条线段组成呢？

生：五边形.

师：如果是n条线段呢？

生：n边形.

师：三角形有顶点、边、内角等一系列概念，多边形也有这些元素吗？请进行概括.

学生在问题引导下，以类比的方式对多边形的边、顶点和内角的概念进行了概括.

师：请问一个九边形对应边、内角的个数.

生：九边形的边和内角都是九个.

师：在n边形中，连接相邻顶点的线段称为边，那么连接不相邻顶点的线段叫做什么呢？

生：对角线.

师：请画图并说明六边形由一点出发的对角线的条数？

生：四条.（学生先是画图，形成初步结论之后，在合作讨论中进行了答案的确认）

师：如果有一个n边形，请说明其顶点、边、内角、由一点出发的对角线的条数？

生：有n个顶角、边和内角，有n－2条对角线.（学生画出三角形、四边形、五边形等等，在实际操作中进行探索和归纳，并且在合作交流中形成较为一致的观点）

在上述的合作探究过程中，教师启发学生从自己的已有认识出发，积极采用类比的方式对陌生的模型展开分析和研究，并最终形成对基本概念的认识.

2.在自主探索中验证猜想

合作是学生推进认识的主要方式，而学生自主性的发挥应该是他们开展合作的基础.这里的自主一方面是针对学生的个体，即学生应该在自己确实有所思考和体会之后，再在合作交流中进行分享和讨论；另一方面是针对学习小组而言，即教师不能随意介入学生的合作探究，应该保留学生合作探究的自主权.

通过之前的探索，学生也发现了三角形和n边形在概念上的区别和联系，本节课所探索的重点问题是多边形的内角和，是否可以从三角形的结论中得到启示呢？学生积极展开猜想，并在合作讨论中探讨验证猜想的方法.在他们的合作与交流的过程中，学生充分发挥着学习的自主性，下面介绍一些学生互帮互助的片断.

师：请谈谈你对n边形内角和这一问题的猜想.

生：我们认为应该等于（n－2）×180°.

师：怎样证明你们的猜想呢？

图1

生：如1图所示，可以从某一顶点开始画出所有的对角线，这样就可以将n边形划分为多个三角形，由此即可用三角形内角和定理来完成证明，比如四边形被对角线分成了两个三角形，则内角和等于（4－2）×180°=360°；五边形被对角线分成了三个三角形，则内角和等于（5－2）×180°=540°；六边形被对角线分成了四个三角形，则内角和等于（6－2）×180°=720°；因此有n边形被对角线分成（n－2）个三角形，则内角和等于（n－2）×180°.

师：这种方法可行，其他同学还有别的思路吗？

图2

生：我们小组是在一条边上任意取了一个点，并将这个点和其他的顶点连起来，构成如图2所示的情况，分出若干个三角形之后，我们需要将多出来的一个平角（180°）减掉，比如四边形被分成了三个三角形，则内角和等于（4－1）×180°－180°=360°；五边形被对角线分成了四个三角形，则内角和等于（5－1）×180°－180°=540°；六边形被对角线分成了五个三角形，则内角和等于（6－1）×180°－180°=720°；因此有n边形被对角线分成（n－1）个三角形，则内角和等于（n－1）×180°－180°=（n－2）×180°.

师：这个方法也很好.你们还有其他解决方法吗？

生：还可以在n边形内部任取一个点，然后向着各个顶点引线，这样就可以划分成n个三角形，最后减掉360°就可以了.

师：很好，其实证明的方法还有很多，大家可以在课后继续交流和探索.

在上述交流过程中，教师先让学生汇报自己的猜想，然后再由学生提供证明的思路，在这样的教学中，教师只是提出了问题，并对学生的合作展示进行了组织，其他的工作都由学生自主完成，学生的主体性得到了很好的体现，同时也提高了学习效率.

3.在反思中明确探究思路

对任何知识的学习，学生都将经历一个由模糊到清晰的过程，他们的思维也将从机械走向灵动.上述过程需要学生在实践与反思的过程中不断推进.在本节课上，学生采用小组合作的方式来展开教学，并且在探究过程中得到公式.学生采用不同的方法展开验证，并按照自己习惯的方式形成理解，为了让学生构建较为清晰的思路，我们要指导学生进行有效反思，并要求他们在交流中分享自己的心得体会，由此实现更加深刻的认识.

三、课堂教学的体会和感悟

在教学实践过程中，采用小组合作的方式来引导学生展开探索，能够让我们自己更加深刻地领会课改理念，并且在进一步的教学中实践相关理论.

在本节课的教学过程中，我们引导学生采用类比的思想来认识新的数学模型，并形成概念、提出猜想.在进一步探索内角和定理的过程中，我们又充分运用了化归的思想，引导学生将陌生的图形转化为他们所熟悉的三角形，让他们高效地完成了归纳和推理.此外，我们不但要关注学生对知识的获取和理解，更要关注他们对思想和方法的感悟，同时我们还要尊重学生的学习习惯，鼓励他们按照多样化的方式展开学习.

以合作学习来建构课堂为学生提供了相互交流、共同成长的平台，教师要引导他们有序发表自己的观点，同时也要指导他们在反思过程中交流自己对知识和方法的理解，这样才能让合作学习真正发挥实效.F