基于数学素养 培养理性思维

☉山东省临清市京华中学 齐 欣

学数学，掌握规律方法比多做题重要得多.数学问题的解决，有时需要在一定问题的情境中，让学生经历“发现问题→提出问题→分析问题→解决问题”的过程.《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出试题要注重对基础知识和基本技能的考查，考查学生理解数学本质，考查学生能否在具体情境中合理应用.因此解题教学要基于问题解决模式展开，关注学生思维能力发展.

一、在解决问题过程中，挖掘数量关系，培养和发展学生的理性思维

问题1：一杯可乐售价1.8元，商家为了促销，顾客每买一杯可乐获得一张奖券，每三张奖券可兑换一杯可乐.则每张奖券相当于（ ）元.

（A）0.6元 （B）0.5元 （C）0.45 （D）0.3

分析：奖券到底值多少钱？有学生认为，三张奖券兑换一杯可乐，而一杯可乐1.8元，那么每张奖券就是0.6元.老师统计发现赞同“1.8元=3张奖券”的竟然有20位学生（班里一共有48人）.其实是学生没有理解题意中的数量关系；站在商家的角度理解，他是绝对不会让自己赔本的，那么你买的1.8元里也一定把奖券买出来了.就是说“1.8元=一杯可乐+一张奖券”.理解了这一点后，这题也就不那么难了.还有同学提出：兑换的可乐还有奖券吗？笔者在鼓励该同学看问题缜密的同时，引导同学们回到题目中去寻找答案，学生很快从“每买一杯可乐获得一张奖券”中找到了答案，从而化解了困惑，这样看来正确理解题意是解决问题的关键，通过研究发现这道题有以下4种解法.

思路（一） 根据三张奖券换一杯可乐，列方程

解法1：设每张奖券相当于x元，则可乐为（1.8-x）元，由题意，得 1.8-x=3x，解这个方程，得x=0.45.检验：x=0.45（元）是所列方程的解且符合题意.故选C.

思路（二） 根据三张奖券换一杯可乐，巧代换

解法2：因为1.8元可以买一杯可乐和一张奖券，而一杯可乐可以由三张奖券换购，于是可以理解为1.8元得到3+1张奖券，从而每张奖券值0.45元.

思路（三） 挖掘“买三杯赠一杯”本质，列方程

解法3：由题意得“买三杯赠一杯”，就是实际花买3杯可乐的钱可以喝到4杯，设每张奖券相当于x元，则4·（1.8-x）=3×1.8，解得x=0.45（元）.以下同方法1.当然也可以这样想：用了5.4元（3杯可乐的钱）得到4杯可乐，则每杯可乐相当于1.35元，而1.8元得到一杯可乐+一张奖券，所以奖券值0.45元.如果找了你0.45元的钱，那你可以去别处买你想买的物品，而送你奖券就不同了，显然这是商家的一种促销手段.

思路（四） 根据花三杯钱得到四杯，借助比例

点评：从这个问题的解决可以看出，一方面数学与我们的生活紧密相连，把奖券钱加上去促销才能获得更大利润，所以说，同学们一定要理解问题的本质，才能学好数学，数学的乐趣还有很多，热爱数学的同学们，相信你们会发现更多数学的奥秘；另一方面应用问题的解决不仅让学生获得进一步理解数学基础知识的基本技能，也成为提升学生思维的支架，澄清了错误，化解了困惑，培养了数学抽象、数学建模以及逻辑推理的数学素养，可谓一举多得.

二、在解决问题过程中，找到有效解题思路，体现知识本质与数学思想

《义务教育课程标准（2011年版）》指出数学经验的积累是提高学生数学素养的重要标志.在解决问题时要循序渐进，帮助学生在做数学和思考数学的过程中积淀数学活动经验，对问题中的信息进行选择和判断，方能有效找到解题思路.

问题2：为了鼓励市民节约用水，某市水费实行分段计费制，每户每月用水量在规定用量及以下的部分收费标准相同，超出规定用量的部分收费标准相同.例如：若规定用量为10吨，每月用水量不超过10吨，按1.5元/吨收费；超过10吨的部分按2元/吨收费.则某户居民一个月用水13吨时应交水费：10×1.5+（13-10）×2=21（元）.下表1是小明家1至4月份用水量和缴纳水费情况.

表1

根据表格提供的数据，回答：

（1）该市规定用水量为____吨，规定用量内的收费标准是___元/吨，超过部分的收费标准是____元/吨；

（2）小明家用水费20吨，应缴水费_______元；

（3）若小明家六月份应缴水费46元，则六月份小明家用水量是多少吨？

分析：方程是研究实际问题的一个重要数学模型.在建立和运用方程模型的过程中，寻找等量关系是重要的基本活动经验，体会变化与对应，特殊与一般的思想，搜索方程与函数的联系，是函数学习过程中需要揭示的最为本质的思想.数学建模素养较为薄弱的同学可能会出现理解错误，第（1）问的三个空到底先填哪一个？若按顺序填，第一个空就受阻，从而因未能求出第（1）问中三个量或未能有序思考，整体思考，导致后续问题不能求解.这反映了学生综合应用知识能力欠缺，运算素养，逻辑推理素养堪忧.首先由表格是一、二月份用水量及收费，发现规定用量内的收费标准是2元/吨；其次由表格中三、四月份的用水量及收费，发现都超过规定用水量，多用三吨，多收费9元，从而超过部分的收费标准是3元/吨.最后确定第一个空.设该市规定用水量为x吨，则2x+3×（12-x）=28，解得x=8（吨）.第（2）问是一个方程，第（3）问是已知函数值，求相应自变量的值（水费是用水量的函数），考查方程与函数的关系，基本就没有那么难了.

三、在解决问题过程中，注重方法指导，培养学生探究和反思能力

我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”因此在问题的解决中，借助数形结合，常常可以使问题的解决找到突破.

问题3：如图1，点M是线段AB上一定点，AB=12cm，C、D两点分别从M，B同时出发，分别以1cm/秒，2cm/秒的速度沿直线BA向左运动，C在线段AM上，D在线段BM上.

图1

（1）若AM=4cm，当点C，D各自运动了2秒，此时AC=_______，DM=_______；

（2）当C，D各自运动了2秒，求AC+MD的值；

（3）若点C，D在线段BA上运动时，总有MD=2AC，求AM的长；

（4）在（3）的条件下，若N是直线AB上的一点，且AN-BN=MN，求MN∶AB的值.

分析：首先要搞清楚这4问之间的关系.第（1）、（2）问是并列关系；第（3）、（4）问是递进关系.其次，第（2）问还体现了特殊到一般，考查符号意识和整体思想；第（4）问由于点N的位置情况不明确，需要画图验证讨论.第（3）问承上启下，如何用好条件MD=2AC是解决问题的关键.可以从数和形两个角度来思考突破.

解：（1） 因为AC=AM-CM，而AM=4cm，CM=1×2=2cm，所以AC=2cm，因为DM=MB-BD，BD=2×2=4cm，MB=AB-AM=8cm，所以DM=4cm.

（2） 当C，D各自运动2秒时，AC=AM-CM=AM-2，MD=MB-BD=MB-4，所以AC+MD=AM-2+MB-4=AM+MB-6=AB-6=12-6=6（cm）.

（3）方法①：因为MD=2AC，所以结合图1，可得MBBD=2（AM-CM），即MB-2t=2（AM-t），从而MB-2t=2AM-2t，于是MB=2AM，而AM+MB=AB=12cm，所以AM=4cm.方法②：因为MD=2AC，BD=2CM，所以MD+BD=2AC+2CM=2（AC+CM）=2AM，以下同方法①.

（4）因为AN-BN=MN，所以AN＞BN，从而N一定不在线段BA的延长线上.因此应分两种情况考虑.当N在线段AB上时（如图2）.

方法①：设MN=x，由题意得（4+x）-（8-x）=x.解这个方程，得x=4（cm）.所以MN∶AB=.

方法②因为AN-BN=MN，所以BN=AN-MN=AM=4cm，所以MN=AB-AM-BN=4（cm）. 所以MN∶AB=.

图2

当N在线段AB的延长线上时（如图3），因为MN=AN-BN=AB，所以MN∶AB=1.

图3

四、点评

1.问题解决的教学要聚焦数学素养

三个问题都是考查数学素养的好题，在PISA测试理念中，数学素养的核心指向个体“表述”、“运用”、“阐释”数学的能力.通过此类问题的解决，有利于提升学生数学解题的思维强度和思维层次，从而完善数学思维品质.基于数学素养提升与数学知识的内部贯通，关注问题解决，准确把握学生卡点，通过数学问题解决的三个具体过程，在题目的困惑化解、思路分析与解法展示的基础上进行解题反思.让学生在生活情境中体验数学、理解数学、找寻问题的数学本质，培养学生利用数学解决问题的意识，培养学生理性思维，引领学生积累数学活动经验、感悟数学思想，进而联系现实或从中抽象出数学问题.

2.数学素养蕴含在建立“符号意识”的数学思维和学生主体意识发展中

罗素认为数学就是符号加逻辑.《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和数学思考的重要形式，从而有助于学生更好地理解数学和发展数学素养.数学素养具有综合性、内隐性和适应性的特点，数学素养的形成需要教师的隐性帮助，数学教学要从以知识为中心向以学生为主体转变，数学教学要促进和发展学生的主体性，首先回归学生的认知起点，尊重学生的主体性；其次创设自然生成的情境，激发学生的主体性；最后要有效发挥教师的主导作用，启发学生共同探索，分享成果.