关于培养初中生数形结合思想的若干思考

☉江苏省海门市能仁中学 袁潜花

初中数学教学不但要教授数学知识，也要培养学生的数学思想.下面，笔者以数形结合思想的培养为例探讨一下笔者在教学中的思考.

一、初中数学教学体系下的数形结合思想培养

在组织初中数学教学时，我们不但要指导学生研究数学知识，更要启发他们在逐步思考的过程中形成数学思想，因为它是数学学科的魂魄所在.它不但指明了问题探索的方向，而且也对学生的数学实践有着支配性的作用.因此，在数学课堂上，教师要引导学生以最积极的姿态进行反思，并从中提取数学思想.

在众多的数学思想中，数形结合有着非常重要的地位，它是研究者从题设情境和结论之间的关系着手，将某些数量上的特点和图形联系起来，由此从更加全面而多元的角度来分析和研究问题，这样的处理能让学生对数学模型形成更加直观的认识，他们的思路将更加清晰，问题的解决也将更加高效.

在初中数学课堂上，我们鼓励学生从数形结合的思想着手来探索数量关系或图像关系，学生也将更加深刻地领会到这种思想的价值所在，进而他们将更加主动地将这一思想运用于数学知识的理解和数学问题的分析中，这有助于培养他们思维的灵活程度，同时他们问题的解决能力也将因此而获得提升.数形结合的思想往往体现在这样一些方面：围绕代数问题建立相应的几何模型；运用图像来研究函数问题；运用代数知识研究和分析几何问题.

很多数学问题有着这样的特点：若只用代数方法来处理，则显得生涩且缺乏直观性；若只是靠着图形来分析，则严谨性有所缺失；若我们能将两个方面结合起来研究和分析，则能实现优势的互补，进而实现更好的教学效果.当我们在教学中引导学生培养数形结合的能力时，关键是要帮助学生明确数形之间的契合点，比如在处理几何问题时，如何将几何上的位置关系转化为数量上的关系，让学生能够实现以数解形，从而让原本抽象的问题更加直观和具体，这样的处理显然更有助于学生获得理解，实现事半功倍的学习效果.

总之，数形结合是学生在学习初中数学的过程中不可或缺的一项手段和方法，我们在教学过程中要注意相关思想的渗透，以此来帮助学生获取认识，同时也能提升学生的思维水平.

二、初中数学课堂上培养数形结合思想的基本途径

1.在概念教学中渗透数形结合的思想

概念是学生数学学习的基础，它是对数学本质属性最深度的刻画，同时它也是学生建构数学思维的细胞，是初中数学知识的组成元素，是学生展开推理和判断的根本依据，当然它们还是学生认识数学公理、公式的根基，是学生一切思维活动的起始点.

数学概念的形成过程，本就包含着大量的数学研究思想.我们在组织学生研究相关概念时，要引导学生从探究中体验概念的形成，同时也要指导他们感悟其中的分析、综合、比较等过程，尤其是对包括数形结合在内的数学思想，我们要指导学生在探索过程中形成感悟.比如，“平行线分线段成比例”，这是一个相对纯粹的几何概念，但是我们在指导学生进行研究时，要结合学生在代数中的所学展开比较分析，引导学生用代数语言来表述图形中的特点，学生也将由此而产生更为深刻的认识.再比如，为了研究二次函数的极值特点，我们引导学生画出函数的图像，让他们在图形中进行总结和辨析，这样的处理有助于学生认识的提升和发展.

2.在例题分析中渗透数形结合的思想

学生的数学学习离不开教师对例题的讲解，因为这不但可以指导学生对数学知识产生更深的认识和理解，而且学生也将在例题的分析和探索中明确隐含在其中的数学思想和研究方法.就数形结合的思想渗透来讲，教师要有意识地将涉及到此类方法的问题展示在学生面前，引导学生从中体会数与形之间的关联，从而促使他们有意识地训练有关思维方法.

例1 已知等腰△ABC中，AB和AC为其两个腰，长度为5，三角形的面积为12，求tan∠ABC.

图1

分析：本题应该是一个标准的几何问题，为了处理这个题目，我们可以在如图1所示的等腰△ABC中画出底边的高，然后只要确定AD和BD的长度，即可直接表示出tan∠ABC.下面，我们可以采用数形结合的思想来继续问题的分析和处理.

首先围绕三角形底边上的高AD可以确认BD=DC.

假设BD=x，AD=y，且x＞0，y＞0，因此有BC=2x.

可以看到，在上述问题中，学生采用数形结合的思想来切入，先由几何规律明确各元素之间的关系，再引导学生将其转化为方程来实现问题的处理，整个过程每一个环节都缺一不可，否则问题将无法得到解决.

3.在数学实践中渗数形结合的思想

实践性应该是新课程最为本质的内涵，将其落实在初中数学教学中，教师要坚决落实“做中学”的教学理念.该理论要求教师在指导学生认识数学知识、体会数学方法时都要在学生的切身参与中进行感悟和体会.而且在学生围绕某些实践主题展开分析和探索时，我们要鼓励学生有效观察和比较，从中领会思想内涵，在这一过程中，教师可以有意识地将数形结合的思想渗透其中.

图2

例2 南海自古以来就是我国的领土，但是某些东南亚小国对此觊觎已久，某日我海军部队监测到一艘可疑船只A在某岛礁的军事基地附近活动，便派遣快艇B从海岸出发前去追捕，如图2所示，可疑船只A见状迅速向公海区域逃窜，快艇B在其后穷追不舍，图3中的l1和l2分别对应两只船对应海岸的距离s与追赶时间t之间的关系.请结合图象进行分析：

图3

（1）l1和l2中的哪条线对应的是快艇B对应海岸距离与时间的关系？

（2）两艘船的速度哪一个更快？

（3）十五分钟内我海军快艇B能否追上可疑船只A？

（4）如果持续追赶，我海军快艇B是否一定能追上可疑船只A？

（5）已知距离海岸12海里的位置为公海区域，一旦可疑船只A逃到这一位置，我海军快艇B将无法再继续追赶，请分析我海军快艇B能否在此之前追上.

分析：这个问题以图形来提供情境，在处理的过程中需要学生从图形中收集有用信息，然后匹配问题展开研究.由图像可以发现，海军快艇B在计时起点刚刚由海岸出发，因此l1表示快艇B到海岸距离和时间之间的关系；从图像上，我们可以看到l1图像更陡，这表明海军快艇B在相同时间内有更大的位移，所以海军舰艇B的速度要更大；至于第三个问题，我们可以根据两艘船的图像特点着手，写出它们的解析式，有海军快艇B所对应的解析式为s1=k1t，可疑船只A的解析式为s2=k2t+b.结合图像，可以确认k=，k=，b=5.即两条解析式为s=t，121=t+5.当t=15时有s=7.5，s=8，由此可见十五分钟时，12海军快艇B没有追上可疑船只A；考虑到海军快艇B在速度上的优势，因此能追上可疑船只A；当s2=12时，t=35，这段时间海军快艇B所运动的距离为s1=17.5，大于12，这意味着海军快艇B可以在可疑快艇A到达公海之前追上它.

上述问题是一个典型的和实际联系起来的问题，我们通过这样的问题来启发学生从图像中搜集信息，并将其转化为解析式的形式，这样的教学有助于学生对数形结合思想的运用，能够有效锻炼学生的相关能力.

综上所述，教师在教学中要结合学生的学习规律，积极注重数形结合思想的渗透，这样的处理有助于学生提升数学学习效率，也有助于发展学生的思维品质.