一幅图 一类题 一节课——以“中考专题复习之最值问题”为例

☉浙江省绍兴市建功中学 曹 青

最值问题是中考试题中的重点题型，而且大多以压轴题的形式考查.近期，笔者在所在地区举办的“骨干教师示范课”中有幸执教“最值问题”中考专题复习课，并在教学中将常见的最值问题通过“一条主线”在“一个图形”中进行系统梳理呈现，取得了较好的教学效果、下面进行简单介绍，不当之处，敬请指正.

一、教学设计简述

（一）一条主线

最值问题的类型及原理（教学中结合相关题目，渐次生成，如图1，即为教学中的课堂板书）.

图1

图2

（二）一个图形

△ABC是边长为4的等边三角形，点P是边BC上的任意一个动点，点D是边AC上的一个定点，且满足CD=1（如图2）.

（三）五个问题

以下五个问题在教学中由学生结合相关题型进行自主改编，当然以下五个问题都在教师的教学预设之中.

1.边BC上是否存在点P，使得AP+DP最小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

2.点P在边BC上运动的过程中，线段AP的最大值和最小值分别是多少？

3.请在边AB上确定点Q，边BC上确定点P，使得△DPQ的周长最小，并求出此最小值.

4.将条件“点D是边AC上的一个定点，且满足CD=1”改为“点D是边AC上的一个动点，且满足CD=BP，连接AP、BD交于点H”，请求出CH的最小值.

5.若点P关于AB的对称点是M，点P关于AC的对称点是N，试求出线段MN的取值范围（最好从代数和几何的角度给出多种方法）.

图3

二、典型问题处理

（一）第1题

方法1：如图3所示，过点D作线段DE使BC垂直平分DE连接AE交BC于P，易得AE即为所求.过点E作垂线交AC的延长线于点F，显然∠ADE=150°，∠EDF=30°

在直角三角形AFE中，根据勾股定理可得

方法2：以BC所在的直线为x轴，等边三角形ABC的边BC上的高所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，易得 点 A 的 坐 标 为 （0，2）， 点E的 坐 标 为，所以根据勾股定理可得

（二）第3题

第3题的处理方式如图4所示，结合第1题和第3题，可提炼基本图形（如图5），其中△ABC是钝角三角形，∠ABC=150°（或120°或135°），初中阶段在已知边AB和BC的情况下，即可求出边AC的长度.

图4

图5

（三）第5题

方法1（代数法）：如图6，设BP=2x，则CP=4-2x，0≤x≤2.

在等腰三角形BMP中，∠MBP=120°，PM=2PE=2BP·sin60°=BP=2x.

同理，在等腰三角形CNP中，

利用基本图形图5提炼的方法可得

在Rt△NHM中，

所以36≤MN2≤48，所以线段MN长的取值范围为：6≤MN≤4.

方法2（几何法，利用第2题的结论）：如图7，连接AM、AP、AN，根据“对称”的性质易得AM=AP=AN，所以△AMN是等腰三角形，而且∠MAN=120°.

图6

图7

结合上述方法1和方法2可以发现在等腰三角形中要注意腰、顶角（顶角一半的三角函数）以及底边三者之间数量关系的熟练应用；此外，上述方法1和方法2对同一个问题分别从代数和几何的角度进行审视，得到了不同的解题体验，教学过程中应该注意引导学生体会其中奥妙.

三、实践思考

通过上述的介绍，可以看出该课例通过5个问题，将与最值问题有关的基本题型（几何最值和代数最值）进行了系统的梳理总结，并给出了相应的处理策略和基本图形.教学中教师应该结合学生自主编题的顺序（也就是说实际教学中并不是按照从问题1到问题5的顺序呈现的）渐次生成如图1所示的板书，可以说学生在复习中只要结合板书及上述5个问题就可以很好地掌握与最值有关的常见问题，起到事半功倍的效果.

该课例将与最值有关的典型题型融于一图之中，提高了课堂教学效率，减轻了学生的负担，可以说很好地实现了课堂教学的减负、优质和高效.

实际教学中精彩生成不断，如第1题的方法2就是学生提出来的，一线教师只要抓住这种精彩生成，可以适当渗透高中解析几何的思想，同时也可以告诉学生对于与正方形、矩形、等腰三角形等比较容易建立直角坐标系的图形而言这是一种非常好的方法，当然这种方法的渗透需要结合学生的实际情况，不必给学生增加不必要的负担.

关于中考备考，时间紧，任务重，一线教师应该“跳进题海”，让学生“游上岸”，开发出更多的简约、高效的“一题一课”或“一图一课”的课例，为其他教师和即将参加中考的学生贡献一份力量.F