精心构思习题讲评，预设铺垫相机追问——以中考较难题习题讲评为例

☉浙江省绍兴市上虞区谢塘镇中学 陈 烨

中考二轮复习期间，备课组内决定开展含参函数综合题的复习，以应对目前这类热点考题.经过认真筛选，我们选用了一道“含参”考题进行复习，并围绕该题进行一些教学改编与铺垫式设问，取得了较好的教学效果.本文整理了该课的教学素材，以分享给各位同行.

一、考题及思路突破

考题 已知二次函数y=ax2+bx+t-1，t＜0.

（1）当t=-2时，

①若函数图像经过点（1，-4），（-1，0），求a，b的值.

②若2a-b=1，对于任意不为0的实数a，是否存在一条直线y=kx+p（k≠0），始终与函数图像交于不同的两点？若存在，求出该直线的表达式；若不存在，请说明理由.

（2）若点A（-1，t），B（m，t-n）（m＞0，n＞0）是函数图像上的两点，且S△AOB=0.5n-2t，当-1≤x≤m时，点A是该函数图像的最高点，求a的取值范围.

思路突破：（1）①当t=-2时，二次函数解析式中只有两个参数a，b.把（1，-4），（-1，0）分别代入y=ax2+bx-3，解出方程组得a=1，b=-2.

②利用条件2a-b=1，先将原函数解析式中的参数消去一个，即y=ax2+（2a-1）x-3.这时认真分析该解析式特点，可得出两个数对，与参数a无关，即当x=-2时，y=-1；当x=0时，y=-3.

故二次函数图像一定经过两个定点（-2，-1），（0，-3）.

于是当直线y=kx+p（k≠0）恰经过（-2，-1），（0，-3）时，可解出该直线表达式为y=-x-3.

当然此时直线y=-x-3始终与二次函数图像交于（-2，-1），（0，-3）两点，是符合题意的.

（2）先把A（-1，t）代入二次函数解析式y=ax2+bx+t-1中，可得用含a的代数式表示b=a-1.这样二次函数解析式为y=ax2+（a-1）x+t-1.

接下来结合A（-1，t），B（m，t-n）（m＞0，n＞0），可以画出如下草图（如图1）进行分析，注意在构图时各点的位置需要想清，“形”的位置由一些数或字母的正、负控制着.

图1

解得m=3.这是一步重要进展，在此基础上，-1≤x≤3也得到确认.

接下来想清两点的坐标为A（-1，t），B（3，t-n）.

由n＞0，有t＞t-n.分抛物线开口向上或向下的不同情况进行分类思考：

当a＞0时，构造符合要求的两种草图（如图2，图3）.

图2

图3

从图2，图3上容易看出，二次函数图像的顶点为最低点，当-1≤x≤3时，若点A为该函数图像最高点，则yA≥yB，于是把A（-1，t），B（3，t-n）代入y=ax2+（a-1）x+t-1，得t=a-（a-1）+t-1，t-n=9a+3（a-1）+t-1.

因为t＞t-n，所以a-（a-1）+t-1＞9a+3（a-1）+t-1.

当a＜0时，由t＞t-n，可构造符合要求的草图，如图4所示，

注意：在抛物线向下时，若A，B在对称轴的异侧，当-1≤x≤3时，图像的最高点是抛物线的顶点而不是点A；

图4

解后反思：第（1）②问还可以“走向一般”，当直线与二次函数图像相交时，有kx+p=ax2+（2a-1）x-3.整理可得ax2+（2a-k-1）x-3-p=0.可得Δ=（2a-k-1）2+4a（3+p）.

化简可得4a2-4a（k-p-2）+（1+k）2＞0.

若直线与二次函数图像始终有两个不同的交点，则△＞0.因为无论a取任意不为零的实数，总有4a2＞0，（1+k）2≥0

所以当k-p-2=0时，总有Δ＞0. 可取p=1，k=3……

所以，对于任意不为零的实数a，存在直线y=3x+1始终与函数图像交于不同的两点.

第（2）问有几处关键步骤：第一，是消参；第二，构造草图分析△AOB的面积，用不同的方式表示，沟通等量关系，求出m=3；第三，数形结合分析a的取值范围（注意抛物线开口向上或向下进行讨论）.

二、解题教学微设计

教学环节（一）基础热身

例1 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx-3经过点A（1，-4），B（-1，0）.

（1）求a，b的值；

（2）求该抛物线的对称轴；

（3）求△AOB的面积；

（4）求AB所在直线解析式，并写出该直线与y轴的交点坐标.

教学环节（二）拾级而上

例2在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx-3，经过点C（-2，-1）.

（1）若该抛物线对称轴为x=1，求a的值.

（2）分析抛物线会经过哪两个定点？

（3）对于任意不为0的实数a，是否存在一条直线y=kx+p（k≠0），始终与函数图象交于不同的两点？若存在，求出该直线的表达式；若不存在，请说明理由.

教学环节（三）挑战难题

例3已知平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+t-1，t＜0.它的图像经过点A（-1，t），B（m，t-n）（m＞0，n＞0），且S△AOB=0.5n-2t.

（1）求证：a-b=1；

（2）分别指出点A，B所在象限，说说你的理由；

（3）求m的值；

（4）当-1≤x≤m时，点A是该函数图像的最高点，求a的取值范围.

三、教学立意解读

第一，精心构思，拉长学程，让重点习题的讲评从快思走向慢想

对于重点习题的讲评，老师们肯定是非常重视的，大家都有不同的招数或绝活，比如有些老师精讲、细讲，然后安排学生整理过程再检查，有些老师讲评之后再进行变式检测等等，都是非常有效的教学方式.我们对这道考题的教学实践表明，在课前精心构思，基于教者对习题的深刻理解，预设一些问题串，让学生经历基础热身，拾级而上，挑战难题的全过程，也就使得这类习题的讲评从学生“快思”走向了“慢想”.拉长学程的同时，也让学生对这类问题的结构加深了理解.

第二，预设铺垫，相机追问，让更多学生参与较难习题思路突破

在预设这类习题课时，既要分出几个不同层次的教学环节，又要根据学情、学程，在教学过程中相机追问学生对一些问题的理解，而不是机械教条地执行教学预设.这类习题教学的总体教学追求是让更多学生都能参与到课堂中来.而不能只是少数几个优秀学生参与“题”中.比如，在例题2教学时，根据学情可相机引导学生思考，如何“走向一般”，这样的直线只有一条吗？只要k，b满足怎样的等量关系，直线与抛物线就一定有两个不同交点？如果学生有困难，可以赋一些特殊数组进行计算研究，再“走向一般”给出证明.