研习“三个理解”，提升教学设计立意——对“三角形内角和”同课异构的评析

☉江苏省睢宁县第二中学 朱 振

最近有机会参加了某地“三角形内角和”同课异构教研活动，由于本次开课教师都是工作3年以内的初任教师，老师们也是限时独立备课后再上课的，基本体现了这些初任教师当前的数学教学基本功.本文先整理三个课例的主要教学流程，并给出教学评析，提供研讨.

一、“三角形内角和”同课异构课例

课例(一)

教学环节1 新课导入

复习回顾三角形的基本知识，前一阶段已经学习了与三角形有关的线段，本节课开始研究与三角形有关的角.三角形有三个内角，他们之间有怎样的数量关系？三角形内角和为180°.教师提问：怎么证明这一结论呢？

教学组织：教师通过复习与三角形有关的线段过渡到与三角形有关的角，构成知识体系.通过提问，启发学生思考.

教学环节2 探究发现

师：在小学我们是如何通过剪拼得到“三角形内角和为180°”的？

教学组织：学生小组动手操作，发现多种拼合方法，小组代表上台展示.每种方法展示后，其他小组同学思考证明方法，教师在评析之后再规范推理论证的步骤书写，最后由学生整理证明方法.得到三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.

教学环节3 例题教学

学生完阅读例1并思考，由学生分析题目，提出思路并整理过程.

例1 如图1，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线.求∠ADB的度数.

图1

图2

例2 如图2，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是多少度？

教学组织：例1的教学比较常规，教师组织学生得出答案后就进入例2的教学.教师先将例2中的实际问题抽象成几何问题，比如师生合作明确出“∠DAC＝50°，∠DAB＝80°，∠CBE＝40°，求∠ABC和∠ACB的度数”.没有给学生足够的思考时间，教师就帮助学生分析：连接点A，B，C构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角.若求出∠CAB，∠ABC，就能求出∠ACB.最后由学生整理过程.

教学环节4 课堂小结与作业（略）

课例（二）

教学环节1 创设情境，引入课题

在课堂的一开始，让每位学生准备一张小三角形纸片，提出问题：“三角形的内角和为多少？”因为学生小学时候已经接触到三角形内角和为180度，这里主要是让学生利用手中的三角形纸片来探究出三角形内角和为什么是180度.从而引出本课要研究的内容：三角形的内角.

教学环节2 小组讨论，证明定理

通过学生小组交流讨论，得到两种实验验证的方法：第一，通过折叠，将三角形的三个内角顶点折叠到同一点上，从而使学生们发现这三个内角构成了一个平角.第二，通过裁、剪、拼，将三角形的三角全部剪下，再次拼接，也会发现这三个内角构成了一个平角.在学生动手操作的过程中加深学生对于三角形内角和为180度的理解，然后让学生们从这张三角形纸片上能否得出相关的启示，结合之前所学内容，自己尝试着能否想到三角形内角和为180度的证明思路.

在学生独立思考的基础上，老师进行引导，如将三角形与平行线进行结合等，从而解决今天教学重难点——三角形内角和定理的证明.（教师带领学生完整给出了两种证明方法，这里略去）

教学环节3 例题讲评，变式教学

结合例题1，例2讲解（例题同上一节课例1、2），以一题为引入作示范，另外几题采取让学生给学生讲的方式，并由学生来进行纠错或添加其他解法，充分将课堂的主体性交给学生.

在这一环节中，学生在刚刚某个基础图形上进行添加或改变一两个条件，并让其他学生来进行证明，相当于让学生在三角形内角和的基础上自己创造题目来进行对三角形内角和的运用，在这一来一回的互动过程中来加深学生们的理解，同时可使课堂增加趣味.最后老师增设了例3.

例3 如图3，∠C＝∠D＝90°，AD，BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？

图3

教学组织：由该题教师总结出直角三角形两锐角互余的性质，补充在黑板上形成三角形内角和定理的推论，另外还提炼了该图形中的一个基本图形（“8字形”）.

教学环节4 课堂小结，作业布置（略）

二、课例评析

第一，基于“三个理解”，精确定位教学目标

近年来，章建跃博士曾倡导的“三个理解”得到一线老师的广泛响应，而对于初任教师来说，他们从师范学校中好像还没有受到其太多影响.在本节内容之前，学生已经学习了与三角形的边有关的内容，在学生对三角形的边有一定了解的基础上，继续学习三角形的内角，加深了学生对三角形的全面认识，学生能更加充分地了解三角形，同时也为后面学生继续学习多边形的内角和奠定了基础，所以本节内容起着承上启下的作用.此外，在小学阶段，学生就已经初步接触了三角形，并对三角形的内角和等于180度已有认识，而在初一阶段，学生在实际解题（有些平行线性质的习题）过程中，也遇到过不少需要运用三角形内角和是180度的结论的题目，所以学生对三角形的内角和应该比较熟悉.据此，执教老师把本课的教学目标定位为“掌握三角形的内角和定理及证明方法，并能灵活运用定理求三角形的相关角度问题”是恰当的.

第二，明辨教学重点与难点，适当整合教材开展“学材再建构”

据以上分析，本课的教学重点不仅是三角形内角和定理的证明，还包括三角形内角和定理的应用，这种应用主要是直接运用三角形内角和定理求相关角度，而不涉及繁杂图形中的角度推导与求解，所以例题选择上要注意控制难度，特别是不能出现一些繁杂线段背景下的求角度问题.而可以像“课例2”那样，在最后阶段，适当引入直角三角形的问题背景，演算推理出直角三角形两锐角互余的推论.这样既是对三角形内角和定理的习题运用，又是定理推论的教学，让学生看到与三角形有关的角的知识体系的完整呈现.特别是，这个教学过程中体现出来的一般与特殊之间的关系，也能向学生传递和渗透特殊与一般的数学研究方法.

第三，初任教师对变式教学、开放教学的专业功夫还有待修炼

由于本次参加赛课的教师都是刚刚参加工作3年以内的初任教师，从他们的呈现的教学设计来看，对变式教学的理解还停留在较低层面上，比如只是对例题的个别条件进行简单改编，还没有能全面认识定理教学中的变式策略，以及核心概念教学过程中的一些变式追求，包括一些训练题的深度变式改编（在不破坏问题深层结构特点时的变式改编）.此外，南京大学哲学系郑毓信教授倡导的开放式教学，也是值得很多初任老师研习和精进的一个方向，比如对于一些简单的三角形内角和定理的习题教学，完全可以实施开放式教学，让学生分组命题，分组解答、交流展示，对一些基本图形及其性质，也可以让学生总结提炼，以“数学写作”（数学小论文、数学反思文章、数学日记等）的形式进行梳理呈现.