明辨重点切勿“滑过”，类比教学特殊到一般——以二次函数起始课教学为例

☉江苏省苏州工业园区星海实验中学 王小燕

近读《中学数学》（下），全国著名特级教师李庾南老师就反比例函数起始课教学给出了精彩的教学设计（见文［1］），让我们大开眼界，才发现“教材重组”、“单元教学”原来是我们一线教师都可以尝试的.对比以前，我们只是机械地执行教材顺序，严格按教材上的分节、分课时亦步亦趋，这给我们的专业思考和教学设计带来了很大的冲击.本文以二次函数起始课为例，谈谈笔者在一次校级教研课中的教学尝试，敬请指导.

一、二次函数起始课教学研究

教学环节（一） 研究实际问题，引入新课

课件出示一些现实生活中实际问题（限于篇幅，摘自教材上的相关问题情境，这里略去），安排学生用函数模型来刻画，学生很快就写出一次函数和二次函数的关系式，跟进以下问题：

问题1：你们写出的这些函数关系式中，哪些是熟悉函数类型，哪些是不熟悉的函数类型？（一次函数是熟悉的类型）

问题2：你们觉得这些不熟悉的函数类型应该取怎样的名称？（二次函数）

教学组织：在学生列出一次、二次函数关系式之后，引出本课研究课题：二次函数.并引导学生类比一次函数的定义，定义二次函数，教师根据学生的归纳，提取有效信息形成板书：形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.

教学时注意跟学生强调：x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.

教学环节（二） 复习一次函数研究过程，为建构二次函数知识框架作准备

问题3：回顾一次函数的学习，是从哪几个方面进行研究的？

教学组织：引导学生回顾从实际问题抽象一次函数，在此基础上形成一次函数概念，研究一次函数图像和性质，利用一次函数的图像和性质求解，得实际问题的答案.

问题4：一次函数的图像和性质又是如何研究的？

教学组织：引导学生回顾画函数图像，观察图像小结归纳一次函数图像和性质，经历了从特殊到一般的探究过程，先研究了特殊的一次函数——正比例函数y=kx（k≠0）的图像和性质，再研究了一般的一次函数y=kx+b（k≠0）的图像和性质；并且分了k＞0，k＜0，两种情况讨论，由k取具体的数值入手，最后归纳出一般的情况.

教学环节（三） 建构二次函数章知识框架，明确研究方向

教学组织：在复习一次函数学习路径之后，引导学生猜想接下来要学习二次函数的哪些内容，教师在学生回答的基础之上，填补到如下的二次函数全章知识框架图（生成板书）.

教学环节（四） 从简单出发，探究y=ax2（a≠0）的图像与性质

教学组织：引导学生继续类比一次函数的研究内容和方法，从最简单、最特殊的二次函数y=x2开始研究，在画出图像之前，先引导学生慢下来、停下来，不急于画出它的图像.

停留处一：认真观察函数表达式x2，从“式”的角度，谈谈自变量取值有没有限制条件？进一步思考函数值与自变量之间有怎样的对应关系，函数值会在什么范围里？猜想、想象它的图像会有怎样的特点？

停留处二：列表、取点有什么技巧或注意事项？从解析式分析自变量的取值范围，在此基础上合理的选取x的值，计算y的值.分析表格中数据的特点，预测、想象图像的特点：过原点（0，0），其余各点均在x轴的上方；无最高点，原点为最低点；图像关于y轴对称.

最后再安排学生描点连线生成图像，学生动手实践，对称描点，从左至右用平滑的曲线顺次连接.在描点的过程中，验证此前两处停留时对二次函数y=x2的图像的猜测与想象.

教学环节（五） 成果扩大，小结概括二次函数y=x2的图像特征和性质

教学组织：在同一平面直角坐标系xOy中，继续画二次函数y=x2，y=2x2的图像，与函数y=x2的图像比，有什么共同点？有什么不同点？当a＞0时，二次函数y=ax2的图像有什么共同特点？

引导学生类比研究二次函数y=x2的角度和方法，尝试从对称轴、顶点、开口方向、开口大小及增减性等方面描述图像特征和性质.

进一步小组内取a＜0时，猜想、确认图像与性质，最后梳理、归纳二次函数图像与性质（教师在学生回答的基础上，调整完善生成结构化板书）：

当a＞0时，抛物线y=ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越小，抛物线的开口越大.

当a＜0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.

二、关于二次函数起始课的教学思考

（一）基于学生最近发展区，重视“类比教学”

根据最近发展区理论，我们的教学起点可以选在学生已有的知识点、学习经验之处，在此基础上，基于数学知识的内在联系、逻辑关系进行恰当的选取，形成教学设计并规划教学流程.比如二次函数起始课是九年级所学内容，学生的知识起点是一次函数，与函数相关的概念、研究套路也是学生已有的学习经验，这时我们就选定了一组情境问题，学生列出了一次函数关系式、二次函数关系式，就自然的引向二次函数的定义、图像与性质等问题，并且在开课阶段安排学生复习一次函数的研究方法、路径，也是提醒学生要善于类比“一次”学“二次”.

（二）教学重点与难点之处，切勿“一带而过”

我们知道，教学重点不能轻轻“滑过”.本课教学重点是二次函数y=x2的图像与性质，并由此“走向一般”，在这个教学过程中，“万事开头难”的道理是一致的.我们不能因为函数y=x2的图像与性质很简单，一带而过就行了，把教学与训练的重点转向研究“走向一般”的情形.事实上，清楚最简单的函数y=x2的图像与性质是教学重点之后，需要辨明如何避免“一带而过”的教学，这就是在上面课例中提出的“两处停留”，即引导学生认真观察解析式，从“式”的特点判断自变量与函数值的取值范围，并由此猜测、想像出图像的特点；另外跟进列表时取点要恰当的、智慧的选取数对，而不是盲目的、大量的、无序的选取数对，不利于最后描点、连线、生成图像.事实上，学生结合对式的观察，对自变量选取互为相反数的数对作值，更易发现函数值的特点.

（三）渗透数学思想与方法，从特殊走向一般

数学课不但要讲知识、讲习题，还要更上一层：通过数学知识、习题的学习，向学生渗透数学思想与研究方法.比如二次函数起始课的学习，可以类比一次函数学习二次函数，这是类比思想，具体来说，可以类比一次函数定义二次函数，类比一次函数的研究套路（定义、图像与性质、应用）学习二次函数；另外，二次函数的学习是从特殊、从简单出发，最后再走向一般、归纳性质，在这个过程中学生不但学到了二次函数的图像与性质，而且感悟到从特殊到一般的研究方法，日后可用于其它新（陌生）函数（甚至一些新领域数学概念）的研究学习.

三、写在后面

当前倡导数学核心素养的学习需要“落地生根”，而数学核心素养的界定又是“众说不一”.由于数学的精神或本质（如抽象、推理、模型，或者求简、从特殊到一般、量化研究等等）是值得重视的核心素养，所以如何在我们的日常课堂训练或渗透这些素养，亟需教师基于“核心素养”的高观点来精心设计教学.我们关于二次函数起始课的教学与思考只是一点初步的尝试（比如向学生传递和渗透了类比、从特殊走向一般的思想方法等），还不成熟，期待批评指正.同时我们也希望出现大量体现核心素养的课堂教学设计，丰富这方面的研究.