浅谈学生数学思维能力的培养

黄显斌

摘要：培养学生的思维品质是实施素质教育的需要，是适应高考能力要求的需要。本文从培养学生思维的严谨性、灵活性、广阔性、深刻性及创造性等方面探讨学生的思维品质培养。

关键词：数学教学；思维能力；培养

培养学生良好的数学思维品质是数学教育方法的一个重要认为和重要目标。高考历来非常重视对数学思想方法的考查，“数学思想的体操”，而思维则是数学学习的灵魂。教师在教学中，要重视、加强对学生思维品质的培养。良好的思维品质只要包括思维的严谨性、灵活性、广阔性、深刻性及创造性。下面我例谈在数学教学中培养学生思维品质的点滴体会。请专家斧正。

一、培养学生思维的严谨性

数学是一门有高度严谨性的科学。思维的严谨性是指思维 活动中能严格控制思维的方向和检查思维过程的一种思维品质。在教学过程中，教师应通过设问、质疑、反例、错例辨析等的训练，使学生善于订正和发现运算与推理中的失误之处，找到症结所在，重新进行计算与思考，根据自己的思维能去伪存真。在学生的学习过程中由于年龄点及元认知水平的制约，我们常常发现学生考虑问题不周全的现象。如解不等式时忽视对a的正负性和a=0的討论；设直线方程后忽视斜率不存在的讨论；对已知不等式的解集为R，求m的取值范围时忽视对2m-1=0的讨论等等。又如：

例1、已知函数则f（-2）=

（A）-3 （B）21 （C）0 （D）不存在

这是一次测验的题，在133人（两个班）的答卷中有48.8%的同学选（C）答案，他们的解答是：

事实上

如何使学生思维更加严谨，养成良好的思维习惯呢？在教学中，教师应力求让学生对概念，定理、公式、法则等理解透彻，准确掌握，有意识地选择一些学生往往考虑不严谨而易出错的习题进行训练，有利于培养学生思维的严谨性。

二、培养学生思维的灵活性

思维的灵活性是指思维过程中的简缩性与快速性，是指思路清晰，解决问题迅速，又能当机立断，不优柔寡断，又不轻率从事。灵活性使人能够在紧迫的情况下，迅速作出正确判断。思维的灵活性也需要知识的结构化，通过对复杂问题的聚敛演变，引导学生分析综合、概括转化、看清问题的基本结构，在脑海里能够迅速再现基础知识与经验，并不断积累，形成良性循环，逐步培养思维的灵活性。数学的应用范围很广泛，要解决的问题各种各样，这就要求学生有机智灵敏的头脑，随机应变的能力。在现实中，学生容易在解题中形成机械模仿、被顶记忆的定势思维，因此，在教学中教师应避免生搬硬套，思路呆板单一的教学模式的情形，应根据教学内容，选择不同的教学方法，在重视通法的前提下，通过灵活选择解题妙法或一题多解等对学生进行训练，培养学生的思维灵活性。

例2、中心为（0、0），一焦点坐标为，截直线

（A） （B）

（C） （D）

这题如果直接求解会较繁，考虑到选择题的大前提是“四个选择之中有且只有一个正确答案”，因此，用筛选法求解：焦点在Y轴上，否定（B）（C），又，否定（D），故选择（A）

例3、求出所有这样的正整数a，使得二次方程

此题若按常规方法，根据求根式求解，运算太大太繁。而用变元法求解，解法则更为简便。

解：原方程变形为：

（1）因a是正整数，所以

但，0，1，2，将这些数代入

（1）可以求得满足要求的所有正整数a的值为1，3，6，10，。

例4、设s、t为实数，求

分析：如图，作直线L：

和椭圆弧C：

显然，直线L上的点（x，y）到椭圆弧c上的点的距离的平方为（，C上能达到最小的点为（3，0），所以，d所求的最小值为2.

此题的条件简单，式子复杂，许多同学无法下手，考虑到所给的式子与两点间距公式很相似，当采用数形结合法时就迎刃而解了。

通过以上引导学生仔细观察、联想，把握住题目的特点，从而获得题目的最佳解法，在教学中引导学生用善变的观点看问题，从变中求异，变中求新，从而培养学生思维的灵活性。

三、培养学生思维的广阔性

思维广阔性指的是思路的广度，既是对问题进行全方位、多角度、多层次的思考，而不是孤立地、局部地、零碎拼凑地思考。要培养学生善于发现问题的共性与个性，迅速找出解决问题突破口的能力。高中数学即具有各分科的独立性，又具有知识体系的综合性，因此它要求学生的思维具有一定的广度，在教学中，教师应引导学生多从不同角度分析问题，横向联想，拓宽思路，力求一题多解，达到培养学生思维的广阔性。

例5、设x，y，求f（x，y）=的最小值。

分析1：由已知条件，为发散点产生联想：可用三角代换破题。设，则f（x，y）==（其中）

当，f（x，y）=6，

当=-1时，f（x，y）min=4。

分析2：从待求的结论为散发点，产生联想：复数的，模，用复数变换法求解。

由题设，可设z=（3-4i），由复数的性质得：所以，f （x，y）=6，f（x，y）=6，f（x，y）=4.

分析3：从待求的结论为散发点，产生联想：

A （x，y），B（3，-4）两点间的距离得解法三。

因为表示以（0，0 ）为圆心，半径为1的圆，而表示圆上的点（x，y）到点A（3，-4）的距离，设直线OA交圆O于P，P两点，易得f（x，y）==

F（x，y）=

本题从已知或结论的结构分析可联想引用三角、复数、解析几何等多个角度进行求解，寻求解答方案，不仅有利于沟通各分科知识的联系，而且有利于培养学生思维的广阔性。

四、培养学生思维的深刻性

思维的深刻性是一切思维品质的基础。它是指某一数学问题提出后，经过观察思考后，能抓住问题的本质，而在一般情况下，学生对问题的思考往往只停留在初级阶段这需要教师耐心地引导和精心地培植，学习数学不能只满足于一知半解的肤浅认知上，而应把握知识的纵向联系，透彻理解知识的本质。

例6、已知椭圆上一动点P（x，y）和一定点A（a，0）（0

分析：

至此，学生会出现一下两种错误：

（1）由得

（2） 由-3

又（0，3），本题无解

错误（1）是由于对变量的取值范围的理解不深刻而导致的；

错误（2）是由于学生只看问题的表面形式，没有深刻理解二次函数在闭区间上的最值是需要分类讨论所致的。

正確的解法是：

（1）若

（2）若

解得a=4

在教学中，教师应创设教学情景，逐步诱导学生透过现象看本质，挖掘问题的隐含条件等，培养学生思维的深刻性。

五、培养学生思维的创造性

思维的创造性是指通过探索、尝试发现“新”的规律，得出“新”结论的一种认知活动。它主要表现为思维的独特性、新颖性和创造性。我们在教学中，首先，要培养学生的创新意识，弘扬创新精神，通过模范人物自强不息的创造精神，激励学生树立时代的使命感和责任感，将自己的一生融入不懈的创新实践中。其次要培养学生冲破思维定势，大胆争论质疑，独立判断思考，突破从众心理，敢于直面失败，勇于探索新知。创造性思维是获取和发现新知识活动中所具备的一种重要思维。表现为思维不循常规，不拘常法，不落俗套，寻求变异，勇于创新他又常以广泛的联想、探知、推广、及转换等数学思想方法为基础。当今时代，是一个信息的时代，是科技迅猛发展的时代培养学生思维的创造性，是实施素质教育、培养跨世纪人才的需要，由于种种原因，学生常满足于常规方法，而不去探究新法、妙法，这样，学生的独创性思维能力是不会得到提高的，在教学中，教师应该鼓励学生敢于标新立异，寻求与众不同的解法，发现思维的闪光点，即予鼓励和支持，培养学生思维的创造性。

例7、求值：

分析1：此题的常规解法是降幂、和积互化求出结果。在重视通法的前提下，可以引导学生用善变的观点看问题，从所给的条件充分发挥联想寻求新的解法。仔细观察此题的形式与余弦定理的形式相同，故可以尝试利用三角求解，从而得出巧妙的解法。略解如下：

构造三角形如图，使，

则 由正弦定理得，BC=

由余弦定理得：

分析2：（用对称式解）原式=

设

则

所以两式相减得

例8、点P（8，1）平分双曲线（1）的一条弦，求这条弦所在的直线方程。

这题的常规解法是用待定系数法或用“设点法”求出斜率，早用点斜式求出弦所在的直线方程。但通过细心观察，我们发现（学生观察到的）直线上的点A（x，y）关于点P（8，1）的对称点B是（16-x，2-y），将其代入双曲线方程得：

（2）联立（1）（2）消去平方项得：2x-y-15=0即为所求。

这个解法简便多了，虽然学生对这种解法的合理性认识不够充分，但我却肯定了他们的独创精神，并鼓励他们继续研究这种解法的合理性。事实上，双曲线就是双曲线关于点P（8，1）的对称双曲线，两对称双曲线的公共弦必被P点平分，故2x-y-15=0为所求。

总之，各种思维品质不是孤立的，而是互相联系的，思维能力的培养，不可能一蹴而就，它需要长期不懈的努力，在数学教学中，教师要转变教育教学观念，改进教学方法，营造和谐宽松的教学情境，积极引导学生不断探索，创新，积极引导学生广泛地、深刻地进行思维，适时的提出假设，构思，启发学生发现问题和解决新的问题。在中学数学教学这块沃土上，只要我们辛勤耕耘，必将能培养出具有良好思维素质的人才。

参考文献：

[1]《中学数学教材分析》（上）（下）

[2]《高考数学能力考查与题型设计》，高等教育出版社：

[3]周庆军.《对初中数学教学“减轻负担，提高质量”的思考》