课堂观察：理解数学，理解学生，理解教育——从一节高中数学公开课《归纳推理》谈起

湖南省华容县第二中学 段华堂

最近笔者听了高二一节数学观摩课，听了之后感受颇多。这节课在认真分析学情和教材的基础上，准确定位教学目标，从数学视角、学生视角、教育视角，也即从理解数学、理解学生、理解教育的角度，基于课标的理念进行了合理而有效的设计，立意较高。

一、理解数学

1．教学目标合理定位

本节课的教学重点放在对归纳推理的概念的理解和应用上，而提高学生从特殊到一般的归纳能力则是本节课的教学难点。归纳推理作为发现新知的一种途径，有时探索的过程是漫长而曲折的，课堂上设置了有一定难度的“欧拉公式的发现”，正是希望学生通过一番“辛苦”的努力才能得到结论，这样的安排有利于提高学生的数学素养和锻炼学生的意志品质。

根据以上想法，结合学生实际，制定了如下教学目标：（1）知识与技能：了解归纳推理的概念、作用，掌握归纳推理的一般步骤，会进行一些简单的归纳推理。（2）过程与方法:学生通过积极主动地参与课堂活动，经历归纳推理概念的获得过程，了解归纳推理的含义；通过欣赏一些伟大猜想的产生过程，体会并认识利用归纳推理能猜测和发现一些新事实、得出新结论的作用，并明确归纳推理的一般步骤。（3）情感、态度与价值观：学生通过主动探究、合作学习、相互交流，培养不怕困难、勇于探索的优良作风，增强了数学应用意识，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度。

2．注意处理好几个问题

（1）结论的开放性。归纳推理很大程度上是一种创造性思维，教学中每个学生做出的推理可能并不一致，在这里有些时候结论是开放的，不是唯一的，只要“合情”，就应该认为是对的，应当鼓励学生积极地创造性的思维。当然，面对推出的不同结论，可以比较哪些结论是更具有研究价值的，哪些思考是更有深度的。（2）过程的复杂性。归纳推理有时不是一蹴而就的，并不是所有的问题只看三五个特殊情形，就能得出一般性结论，有些问题则需要多看几个，在归纳的同时也能培养学生在探究问题的过程中锲而不舍的精神。（3）结论的正确性。归纳推理所得的结论不一定都是正确的。例如：法国数学家费马观察到都是质数，于是他用归纳推理提出猜想：任何形如22n+1 的数都是质数。这就是著名的费马猜想。半个世纪之后，善于计算的欧拉（Euler）发现，第5个费马数不是质数，从而推翻了费马的猜想。甚至有的问题很难举出反例说明它是错误的，也不容易证明结论的正确性，比如哥德巴赫猜想。课上有意安排这样的例子，目的是使学生辩证地看待归纳推理这种方法。（4）处理好推理和证明的关系。数学上为保证结论正确，总是强调要证明结论，但合情推理部分重在“推理”，重在得出新结论，“证明”不是本节课要解决的问题。课上例题中的“欧拉公式”就是这样，学生在短时间内能够得出一般性的结论，已实属不易，若再要求证明，则难度过高，时间上也不允许，而且会让学生抓不住“推理”这个重点，所以处理时更宜放在课后，让学有余力的学生思考。

3．设计具有数学视野

首先，本节课先从一个调查统计案例引入，通过学生对这个问题的回答自然地引出“推理”这个概念，同时它也是一个归纳推理的例子，为后面的归纳推理埋下伏笔，后续也将通过学生的活动，让他们意识到数学学习过程不仅是为了解决问题，还有数学发现，接着给出几个推理的例子，让学生感受它们之间的区别。课堂上，教师通过PPT展示出这一章所要学习的几种推理，即:

这样，使学生在宏观上有一个基本的框架的认识。

其次，在问题的设计上，从学科内、跨学科、生活化的角度引入，这样拓展了学生的思维空间，因为归纳推理并非数学所独有。练习题中有等式问题、质数问题（哥德巴赫猜想）、数列、空间几何、三角等。作为教者，在教学设计时需要站在学科的高度，合理选取、重组、重设。一个问题是要用教材教，而不是拘泥于教材，要对教材再加工。本节课在对教材的理解基础上，没有照搬教材，而是经过教师个人的思考，重新组合，适当调整。比如课堂练习2，曾老师把它作为一种合情与演绎的关系的预演题来处理，使听者感到新鲜。

二、理解学生、理解教育

理解学生，就是理解学生的数学认知特点；理解教育，就是要寻找以适合学生认知特点的方式传授数学知识。

1．以学生为中心，以人为本

在教学设计时，教者必须对每个教学环节都进行仔细地推敲，看逻辑是否自然，是否符合学生认知水平，学生能否接受，如何接受，能接受到什么程度。

首先，利用情景设置吸引学生的注意力，激发学习兴趣。本节课先从一个调查统计案例引入，切题又更适应学生实际，适合课堂教学。接着，从学生熟悉的实例出发，引出概念；以问题的形式启发学生思考，引导学生观察、发现、归纳；鼓励学生发言，允许学生犯错，对学生发言及时点评。这种教学方式顺应学生的思维习惯，概念形成过程更加自然，使学生觉得大部分内容都是自己想出来的，印象会更深刻。学习是学生内化的结果，只有自己建构的知识才是最有效的。在教学设计中，教师是情境的创造者，过程的引导者和启发者，学生才是学习的主体，是知识的探究者和发现者，本堂课较好地体现了“以人为本”的教育理念。

2．问题设计的有效性

执教老师有效的提问可以激发学生的思维。给出几个推理的例子之后，教师问：“这些推理方式有何特点与区别？都正确吗？”给出归纳推理的含义之后，让学生列举生活中运用和学科学习中使用归纳推理的例子；在欧拉公式的发现中，对棱锥、棱柱也不忘归纳其顶点数、棱数、面数，处处体现归纳推理；在练习2中，提问学生：如何想到取倒数来求通项公式？精准的问题、恰当的提问时机，学生的思维一下子被激发出来，这些都体现了教师的教学机智。课堂教学的有效性很大程度上依赖于教师的课堂教学设计，而课堂教学设计的关键是两个方面:（1）提出好的问题。“好问题”有两个标准，即“有意义”，并且在学生的思维最近发展区内，“有意义”就是要反映当前学习内容的本质，“在学生思维的最近发展区内”的问题才能形成认知的冲突，激活学生思维。（2）设计教和学的调控过程，这就是数学知识发生发展的再创造过程以及与学生认知过程的有机融合。因此，教学问题设计的有效性如何，直接影响课堂教学质量。

3．学案与多媒体的使用

执教老师使用学案，让学在教前，提高了教学的有效性，落实学生学习的自主性、合作性和探究性，让更多的学生参与到课堂中来；使用多媒体课件、实物展台与板书教学相结合，对学生各种感官进行全方位、多层次、全面立体的刺激，通过学生的课堂感悟，完成了既定的教学目标，反映出学生对归纳推理的全面的、正确的认识，达到了较好的教学效果。

从学科高度观察课堂，从学生认知规律出发来组织教学，且教学强调对核心内容的解构，注重激活学生思维，目的在于提升学生的数学素养，从而提高教学的有效性。