基于Monte-Carlo法的滚动轴承-转子系统非线性随机振动可靠性分析

胡明用，李昌，韩兴，李云飞，陈宇

(1.辽宁科技大学 机械工程与自动化学院，辽宁 鞍山 114051；2.中国能源建设集团东北电力第一工程有限公司，沈阳 110179)

随着高铁和航空航天等技术迅猛发展，滚动轴承作为关键支承部件，对其研究也不断地深入。滚动轴承-转子系统是一种复杂的非线性振动系统，由于接触非线性和间隙非线性耦合导致系统表现出复杂的动力学行为，其中包括周期振动、准周期振动和混沌振动，尤其混沌振动的位移具有不确定性和不可预测性[1-4]。由于环境和人为因素的客观存在，使得系统中零件的几何尺寸、材料特性、加工误差和系统的工况参数都是随机变化的，从而导致系统响应存在随机性,而这种随机性必会影响系统的稳定性和可靠性，因此，如何定量计算随机参数状态下系统的非线性随机振动可靠度就成为了关键问题。文献[5]基于齿轮动力学模型建立了齿轮传动系统耦合振动的可靠性模型，解决了齿轮耦合振动的可靠性分析和可靠性灵敏度分析的问题；文献[6]以汽轮机扭叶片为研究对象，在考虑几何因素、安装因素、材料因素和转速随机性的同时，将确定性有限元法、响应面方法和Monte-Carlo模拟法相结合对叶片进行振动可靠性分析。但运用可靠性理论对滚动轴承-转子系统进行非线性随机振动可靠性分析还比较少。

以滚动轴承-转子系统x方向振动位移为例，基于Monte-Carlo法，多次重复抽样并统计分析模拟得出其分布和可靠度，同时分析可靠度对某些随机参数的敏感性，以克服以往滚动轴承-转子系统可靠性设计中难以获得大样本数据的问题，为滚动轴承设计制造和转子系统稳定性研究提供参考。

1 滚动轴承-转子系统动力学方程的建立

假设滚动体等距离分布在内外圈滚道之间，以相同的速度在内外圈滚道间做纯滚动，且保持架与滚动体不发生相对滑动。滚动轴承-转子系统模型如图1所示，第j个滚动体在t时刻的位置角为

图1 滚动轴承-转子系统模型Fig. 1 Model of rolling bearing-rotor system

(1)

式中：Z为滚动体数目；ω为滚动体的公转角速度。

当径向游隙为Gr，则弹性接触变形为

uθj=xcosθj+ysinθj-Gr,

(2)

式中：x，y分别为转子轴心在垂直和水平方向上的位移。

由Hertz接触定理[7]得滚动轴承的非线性接触力Q，将其分解到x和y方向为

(3)

式中：Ki和Ke分别为滚动体与内、外圈之间的接触刚度；下标“+”表示只计入uθj的正值；当uθj≤0时，表示滚动体与内、外圈不接触，弹性变形量为0。

系统的转子为刚性转子，根据Lagrange方程建立系统动力学方程为

(4)

式中：m为系统质量；c为系统的阻尼；e为系统的不平衡量偏心距；Fr为作用在转子上的恒定径向力。

2 Monte-Carlo模拟方法及可靠性分析

Monte-Carlo法又称统计模拟试验法或随机模拟法，主要思想是要建立与所求问题相对应的一个随机概率模型，其中，模型中含有某个随机变量，使这个随机变量的某个数字特征(如概率、期望等)正好是所求解问题的解；继而对建立的数学概率模型进行随机试验获得关于随机变量的大量抽样值；然后用统计学的方法来求出这个随机变量数字特征的估计值，进而求解工程技术问题的近似解[8]。该方法在解决复杂工程系统和军用装备的系统可靠性分析中具有独特的优势，例如：1)小样本下可靠度和寿命的评估近似方法；2)大型复杂的可修复系统可靠性分析方法；3)多种分析方法的适用性分析和方法选优。利用Monte-Carlo法求解工程中的可靠性问题，既能保证结果的准确性，又适用于各种分布。加之近年来计算机迅猛发展，使用Monte-Carlo法在计算机上大量且快速模拟这些试验成为了可能。

限于篇幅，文中将以系统x方向振动位移为例分析其可靠性。基于Monte-Carlo法的可靠性分析基本步骤如下：

1) 选取m，c，e，Fr，转速n和Gr为随机参数，假设这6个随机参数均服从正态分布，其余参数为常数。在MATLAB中通过normrnd函数随机抽样N次，N一般要求不小于1 000，生成上述随机参数的正态分布随机数组Xk=(m,c,e,Fr,n,Gr),k=1,2,…,N。

3) 将第k组Xk=(m,c,e，Fr,n,Gr)代入系统动力学方程中求得xk，然后将其代入振动位移可靠性极限方程中得到Zk的值。

MATLAB求解过程如图2所示。

图2 可靠性分析程序框图Fig.2 Block diagram of reliability analysis program

3 计算实例与分析

以某深沟球轴承为例分析系统的x方向振动位移可靠性，轴承结构参数见表1[9]，系统随机参数及其统计特性见表 2。

表1 轴承结构参数Tab.1 Structural parameters of bearing

表2 随机参数及统计特性Tab.2 Random parameters and statistical characteristics

3.1 系统振动位移可靠性分析

在上述假设条件下，通过Monte-Carlo法进行3组抽样，抽样次数依次为5000，10000和15000，依次模拟t=500 s时的x方向振动位移的概率分布。图3—图5分别为3组抽样结果，其中包括x方向位移的抽样历程、概率分布图和频数分布直方图。每组抽样概率分布图中，x方向位移离散点近似为一条直线段；每组频数分布直方图中拟合出了正态分布曲线，随着抽样次数的增加，拟合越接近正态分布曲线。由此可知，x方向位移模拟结果近似服从正态分布。

图3 第1组抽样Fig.3 First group samplings

图4 第2组抽样Fig.4 Second group samplings

图5 第3组抽样Fig.5 Third group samplings

不同抽样次数下，x方向位移可靠度计算结果见表3。由表可知，随着抽样次数增加，可靠度也随之增大，最后趋于稳定。本例中可靠度在0.98以上，抽样次数达到15 000时可靠度稳定，为0.985 1。

表3 x方向位移可靠度计算结果Tab.3 Reliability calculation results of displacement along x direction

3.2 可靠度对随机参数的敏感性分析

可靠度对随机参数的敏感性分析是可靠性研究领域的一个重要方面，对基于可靠度的设计、优化和可靠谎报校验十分必要，也可进一步提高估算可靠度的计算效率[10]。如果可靠度对某个随机参数的敏感性较大，则该随机参数在设计过程中要尽量精确；反之，该随机参数可做常数处理，以减少计算量。

限于篇幅，只绘出x方向位移可靠度随径向力Fr和径向游隙Gr、偏心距e和系统质量m、阻尼c和转速n、径向力Fr和系统质量m的三维变化曲面，分别如图6—图9所示。在单个随机参数服从正态分布，均值连续变化，标准差不变，其他随机参数为常数情况下，计算其可靠度结果如图10所示。各个随机参数下的x方向位移可靠度均值和方差见表4。由图6—图10和表4可知，x方向位移可靠度对阻尼c、径向力Fr和偏心距e的敏感性较大，其中Fr最大，c和e次之，故在设计中尽量给出其精确值；而x方向位移可靠度对转速n、径向游隙Gr和系统质量m的敏感性相对很小，其中n最小，故可做常数处理。

图6 x方向位移可靠度随Fr和Gr变化的三维曲面Fig.6 3D surface of reliability of displacement along x direction as Fr and Gr change

图7 x方向位移可靠度随e和m变化的三维曲面Fig.7 3D surface of reliability of displacement along x direction as e and m change

图8 x方向位移可靠度随c和n变化的三维曲面Fig.8 3D surface of reliability of displacement along x direction as c and n change

图9 x方向位移可靠度随Fr和m变化的三维曲面Fig.9 3D surface of reliability of displacement along x direction as Fr and m change

图10 x方向位移可靠度随各个随机参数的变化图Fig.10 Relationships between reliability of displacement along x direction and some random parameters

表4 可靠度的均值和方差Tab.4 Averages and variances of reliability

4 结论

1)在假设各个随机参数服从正态分布情况下，基于Monte-Carlo法，多次重复抽样并统计分析模拟得出t=500 s时x方向振动位移近似服从正态分布，且抽样次数越多，拟合精度越高。

2)随着抽样次数增多，x方向振动位移可靠度逐渐增大且趋于稳定，可靠度误差越小。当抽样次数达到15 000时可靠度稳定，为0.985 1。

3)分析x方向振动位移可靠度对各个随机参数的敏感性，x方向振动位移可靠度对阻尼c、径向力Fr和偏心距e敏感性较大，其中Fr最大，c和e次之，故在设计中尽量给出其精确值；而x方向振动位移可靠度对转速n、径向游隙Gr和系统质量m敏感性相对很小，其中n最小，故可做常数处理，以减少计算量。