双渐开线齿轮传动的研究与模态分析

2018-07-25方志远张秀文龚远航

机械制造 2018年3期

□方志远 □张秀文 □龚远航

青岛科技大学机电工程学院山东青岛 266061

1 研究背景

分阶式双渐开线齿轮是综合了渐开线齿轮和双圆弧齿轮优点的一种新型齿轮[1]，与普通渐开线齿轮的最大区别在于其工作齿廓由两段相错的渐开线组成，中间以一段圆弧包络线或一段过渡曲线连接，齿顶与齿根两段渐开线齿廓呈阶梯式布置，而普通渐开线齿轮工作齿廓仅由圆弧构成。

随着现代齿轮传动技术的不断发展成熟，人们对齿轮传动系统的振动特性分析及动态特性预测越来越关注[2]。随着有限元分析软件的广泛使用，人们可以通过计算机对齿轮的振动特性进行分析，并与试验相对比，从而更加了解齿轮的振动性能。模态分析主要用于研究结构或机器零部件的振动特性，振动特性包括固有频率和振型[3]。笔者应用有限元软件对双渐开线齿轮进行模态分析，通过分析可以进一步了解双渐开线齿轮的振动性能。

2 模态分析理论

模态属于结构的振动特性，包括固有频率和振型，是一个振动系统的基本动态特性[4]。模态包含了不同的阻尼比、固有频率及振型。模态分析可以得到线性结构在固有频率范围内的模态特性，预测结构在不同频段内经历外部或内部各种外在作用力时的实际振动响应[5]。

由理论力学可得齿轮系统的运动方程为:

式中：[M]、[C]、[K]依次为质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；依次为位移向量、速度向量和加速度向量；｛F（t）｝为外加激振力向量。

为了进一步研究齿轮传动系统的固有频率，设外加激振力｛F（t）｝为0。根据理论力学可知，阻尼对模态分析的影响不大，可令[C]=0，这样得到双渐开线齿轮传动系统无阻尼自由振动方程为：

对应的特征方程为[6]：

式中：ω为固有频率；A为阻尼矩阵为0时对应的特征向量。

｛A｝有非零解的充分必要条件为系数行列式等于0，即：

式（4）是关于ω2的n次代数方程，可求得n阶固有频率 ωi（i=1，2，3，...，n）。将 ωi代入式（3），可得到一个列向量｛A｝i＝（ai1，ai2，ai3，...，ain），即振型或模态。所以，通过求解式（3）、式（4）便可得到齿轮不同阶数时的固有频率和振型。

3 有限元建模

应用三维建模软件建立双渐开线齿轮的三维模型，并导入相应的有限元软件，完成材料属性定义、网格划分、接触对定义、边界条件设置等，从而建立相对应的有限元模型。

双渐开线齿轮的三维模型如图1所示，其具体参数见表1。

▲图1 双渐开线齿轮三维模型

表1 双渐开线齿轮参数

双渐开线齿轮的材料为45号钢，其弹性模量为209 GPa，泊松比为 0.269，密度为 7 890 kg/m3，材料变形按线弹性处理。

在ANSYS软件中向大齿轮和小齿轮施加一定的力和转矩，在小齿轮和大齿轮内孔壁上施加对应的旋转约束，仅使小齿轮切向自由。设置完模态待求解参数后，便可进行求解。

4 模态分析结果

通常情况下，对齿轮进行模态分析，模态阶数越低，齿轮振动对传动系统的影响就越大[7-8]。在求解固有频率时，根本在于求解特征值，在求解过程中只要不出现病态矩阵，就可以解出在分析频段内的全部主要模态，n个自由度的结构必然有n个特征值和n个特征向量相对应。模态分析的精度需要满足很多条件，在试验分析过程中，一般选取前几阶模态的固有频率和振型进行分析[9-10]，笔者提取一至十二阶，对应的固有频率见表2。

表2 双渐开线齿轮固有频率

由表2可见，一阶至六阶固有频率基本为0，为刚体模态。主动轮作为输出动力的构件，扭转弹簧刚度为0，即无负载，为刚体模态，从七阶开始，固有频率显著上升，说明此时系统不存在刚体模态。

双渐开线齿轮综合了渐开线齿轮的优点，其啮合特性决定了各方面性能与渐开线齿轮有所不同。为了进一步研究双渐开线齿轮的振动特性，提取双渐开线齿轮的前十二阶固有频率，进行ANSYS分析处理，得到双渐开线齿轮各阶模态的节点相对位移云图，分析受力和振动情况。由于前六阶模态为刚体模态，固有频率基本为0，因此提取七至十二阶模态进行分析，模态节点相对位移云图如图2所示。

由图2可以看出，频率在13 558 Hz和13 559 Hz附近，齿轮振动沿半径方向伸缩，端面出现多边形形状，基本无轴向振动。当频率为28 438 Hz时，端面收缩成伞形。频率在34 168 Hz附近时，出现十二阶振动，此时可以看出明显变形。十一阶振动时端面的多边形形状并不明显，十二阶振动时可以明显地看到端面己经变为三角形。

根据固有频率下的双渐开线齿轮振动，可以得到固有频率及所对应的固有振型，见表3。