不断反思 深度挖掘 触类旁通——对一道质检题的多解剖析

☉江苏省丹阳高级中学 朱炜俊

著名数学家、教育学家G·波利亚在《怎样解题》一书中指出：“好题目和某种蘑菇有点相似之处：它们都是成串成长，找到一个以后，我们应该看看，很有可能在很近的地方又能找到更多的.”因而当我们解完一道题以后，要不断领悟反思，多角度切入进行深度挖掘，从而达到触类旁通、一题多解的效果.

一、试题展示

（2018年福建省高三毕业班质量检查测试·16）在平面四边形ABCD中，AB=1，AC=，BD⊥BC，BD=2BC，则AD的最小值为______.

二、解法研究

分析：本题看似简单，条件也比较少，但对应的平面四边形ABCD是不确定的，要确定AD的最小值问题，如何切入才是解决问题的关键.

思路方向1：解三角形思维是此类问题中最常见的解题方法，也是考虑问题中首先想到的基本方法.通过对不同三角形中边角关系的建立，利用三角函数的平方关系加以转化，通过相应的方程有正数解，结合判别式的求解即可确定对应的最值问题.本解法的运算量以及运算的次幂比较大，运算时要有耐心，认真细致.

解法1（解三角形+函数与方程法）：如图1，设BC=t，则BD=2BC=2t，设∠ABD=θ，AD=m，

即4-t2=2tsinθ. ①

在△ABD中，由余弦定理可得m2=1+4t2-4tcosθ，

图1

思路方向2：当涉及到的平面几何比较难处理时，经常可以考查建系，通过平面直角坐标系的建立，将其转化为解析几何问题，这也是解决此类问题中比较常见的一种方法.巧妙建立平面直角坐标系时，把点A放在单位圆上，引入三角参数，结合勾股定理的转化来求解AD2的关系式，而碰到高次函数的最值问题，自然而然想到利用导数法来确定对应的最值问题.本解法的运算量也比较大，求导时容易出错，运算要专心细致.

图2

解法2（建系+导数法）：如图2，以B为坐标原点，BD、BC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系xBy，设C（0，a），D（2a，0），A（cosθ，sinθ），其中

结合勾股定理可得5=cos2θ+（a-sinθ）2，

思路方向3：考虑到题目中涉及各种边长与角度的关系，我们还可以巧妙地引入平面直角坐标系与对应的极坐标系，利用极坐标表示来确定相应的点的坐标，进而确定点C所在的圆A的方程与点D所在的圆F的方程，利用两圆的方程的求解以及位置关系，通过两圆内切的位置关系来确定AD的最小值.本解法的思维巧妙，涉及极坐标问题，知识点比较偏.

解法3（极坐标法）：如图3，以B为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xBy，而A（-1，0），由于AC=可得点C所在的圆A为：（x+1）2+y2=5，整理为x2+y2+2x=4，

则圆A的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ=4，

图3

代入ρ2+2ρcosθ=4，

整理有σ2+4σsinα=16，

则点D所在的圆F为：x2+y2+4y=16，

即x2+（y+2）2=20，

显然圆A与圆F相内切，

思路方向4：涉及凸四边形的对边、对角线等的关系问题，可考虑利用特殊的几何定理：托勒密不等式（凸四边形的两组对边乘积和不小于其对角线的乘积，当且仅当四点共圆或共线时等号成立）来处理.处理巧妙，过程简单快捷.本解法涉及的托勒密不等式不属于课本知识，所以不易掌握，只是作为一个课外的拓展解法来处理.

解法4（托勒密不等式法）：如图4，设BD=2BC=2a，设AD=x，

由于BD⊥BC，

图4

由托勒密不等式（凸四边形的两组对边乘积和不小于其对角线的乘积，当且仅当四点共圆或共线时等号成立）可得AB·CD+AD·BC≥AC·BD，

思路方向5：平面几何的问题还是采用平面几何的方法来处理，这是解决问题的一个思维方式.根据题目条件加以巧妙的构造辅助线，通过三角形的相似，并结合相似三角形及三角形的性质来确定最值问题.本解法利用初中知识来解决高中问题，回归本源.其实，采用初中平面几何的知识来解决一些高中相应的数学问题，往往可以使得问题的解决更流畅、快捷.

图5

解法5（旋转+几何法）：如图5，作BE⊥AB，且BE=2AB=2，连接AE、DE，可得

由于BE=2AB，BD=2BC，则知△ABC∽△EBD，

通过从多个不同角度的处理，巧妙地把该题的底蕴充分挖掘出来，从多角度出发，多方面求解，真正实现对数学知识的融会贯通，充分展现知识的交汇与综合，达到提升能力、拓展应用的目的，进而真正达到在学中“悟”，在“悟”中不断提升解题技能的目的.正如我国著名数学家苏步青先生说过：“学习数学要多做习题，边做边思索，先知其然，然后知其所以然.”H