改进跟踪微分器设计

刘志高

（北京航天微系统研究所，北京100094）

0 引言

实际工程中，常需要从给定信号中提取微分信号，而获得准确的微分信号对控制器设计，尤其对基于准确数学模型的现代控制理论设计的作用十分重要。获取微分信号，通常可用1阶惯性环节或差分法，但是当信号中含有噪声时，用如上两种方法取得微分信号的同时，也会将噪声放大（一般噪声的变化率快于有用信号的变化率）。特别情况下，取得噪声微分信号甚至会将所需信号的微分信号淹没。文献[1]利用2阶最速开关系统构造了一种提取近似微分信号的机构，并据此提出了非线性跟踪微分器的概念，给出了非线性跟踪微分器的一般形式，所设计的非线性跟踪微分器改变了以前采用1阶惯性环节或差分法求微分的做法，能较好地跟踪给定信号的微分信号。但该方法含有开关函数，不利于系统的证明及稳定分析。据此，文献[2]提出把文献[1]中非线性跟踪微分器中函数的指数，用分子、分母均大于零的奇数的分数形式表示，取代带有开关函数的形式得出当时间尺度趋于正无穷大时输出信号逐点跟踪输入信号的结论。该方法的优点是在平衡点附近收敛速度较快，缺点是系统状态在远离平衡点时收敛速度却较慢，导致初始阶段跟踪曲线抖振严重。文献[3]设计了一种系统状态在远离和接近平衡点时，都能自动以较快速度收敛的全程快速非线性跟踪微分器，虽然取得了有益的成果，但由于在系统极点附近使用了非光滑的分数指数函数，导致跟踪信号发生了明显震颤。文献[4]和文献[5]设计的跟踪微分器虽然减小了这种震颤，但所设计的方法易产生复数解，其位于虚轴上的解使得跟踪微分器系统处于临界稳定状态，可能导致系统不稳定或输出结果有较大震颤[6-10]。

为改善跟踪微分器性能，去除跟踪微分器复数解，尤其是去除位于虚轴上的解，同时满足跟踪微分器全程收敛较快这一需求，不抖振[10-17]，本文设计了一种改进的跟踪微分器。应用Lyapunov定理证明了改进后的跟踪微分器的稳定性，理论分析和仿真证明其在远离平衡点和接近平衡点时均能加速收敛。

1 改进跟踪微分器设计

设对于系统S1[1，7]，有：

式中，X（t）＝[x1（t），x2（t）]，有如下定理：

定理 1：对于系统S1，如果其解x1（t）、x2（t）满足：，那么，会有系统S2对于任意给定的有界可积函数v（t）以及常数T，式（2）的解满足：（或者－v（t）），。 证明见参考文献[1]。

选取微分跟踪器的关键是选取f[x1（t），x2（t）]，令：

则有如下定理：

定理2：对系统S3，当a1＞0、b1＞0、b2＞0、n＞0，且n为奇数时，式（5）的解满足定理1中系统S1的结论，系统S3渐进稳定，且稳定于（x1，x2）T＝（0，0）T，

定理2的证明如下所示：

选择Lyapuvov能量函数V，令V＝a1x1（t）2/2＋x2（t）2/2＋1，因a1大于 0，则函数V各项系数均大于 0，又因为xi（t）2≥ 0（i＝1，2），所以对于任意状态的（x1，x2）T都有V＝a1x1（t）2/2＋x2（t）2/2＋1＞0。

对V两边求导，得：

又因为：

将式（8）和式（9）带入式（7），有：

整理得：

因b1、b2、n均大于0，则函数̇V各项系数均小于 0，又因为n为大于0 的奇数，故有x2（t）n＋1≥0，所以对于任意状态的（x1，x2）T都有̇V＝－b1x2（t）2－b2x2（t）n＋1≤0。 也就是说系统是渐进稳定的，即可认为x1（t）最终趋于某个稳定值不再变化，那么此时必有̇x1≡0，x2＝̇x1≡0。因为x2≡0，则有̇x2≡0。

将x2≡0，̇x2≡0带入式（5）中，则有：

解得：

即系统稳定值为：

至此，定理2得证。

综合定理1和定理2，可得改进跟踪微分器的形式：

式中，a1＞0，b1＞0，b2＞0，n＞0，n是奇数。

对于任意给定的有界可积函数v（t）和常数T，

需要对式（15）所示的改进跟踪微分器做出如下3点说明：

1）对于式（15），当 e＝x1（t）－v（t）较大时，加速度信号̇x1（t）（或x2（t））亦会较大，使系统能以较快速度跟踪v（t），满足这时，起主要作用，使（x1－v，x2）T→（0，0）T，加速跟踪v（t）过程。

2）当e＝x1（t）－v（t）较小时，即x1（t）接近v（t）时，x1（t）变化趋缓，也即斜率变小，加速度信号̇x1（t）（或x2（t））变小，这时仍需要加速度尽量大，才能使系统以较快速度跟踪v（t），满足

这时，恰有b1x2（t）/R＞b2x2（t）n/Rn（此时（x1－v，x2）T→（0，0）T，b2x2（t）n/Rn斜率贴近x轴），b2x2（t）/R起主要作用。

综合1）和2）可知，所设计的改进跟踪微分器使得状态量在远离平衡点和接近平衡点时均能加速收敛。

3）若令：

f＝－a1x1（t）－a2x1（t）m－b1x2（t）－b2x2（t）n，是不是可以保证式（15）在e＝x1（t）－v（t）较大时，除依靠b2x2（t）n/Rn外，同 时 也 依 靠 非 线 性 环 节－a2x1（t）m加速跟踪v（t）的过程，使系统能以较快速度跟踪v（t），满足呢？答案是否定的，从理论上计算可知，（x1，x2）T除了收敛于（0，0）T外，还收敛于 [（－a1/a2）1/（m－1），0]T（其 中，a1、a2、m大 于 0，m为 正 奇 数，则（－a1/a2）1/（m－1）是复数解，位于虚轴上，致使跟踪微分器系统处于临界稳定。选Lyapuvov能量函数V，令V＝a1x1（t）2/2＋a2x1（t）m＋1/（m＋1）＋x2（t）2/2，可证得使系统收敛的两个解是x1（t）＝0，x1（t）＝（－a1/a2）1/（m－1））。

2 改进微分跟踪器仿真

2.1 改进微分跟踪器与非线性跟踪微分器效果比较

仿真中，让改进微分器和文献[1]经典的非线性跟踪微分器比较，其参数设置如下：ADRC的TD设置[1]为r＝12、d＝0.05。

改进跟踪微分器设置：R＝5、a＝5、b1＝b2＝1、n＝3。

如图1、图2所示，改进跟踪微分器跟踪效果平稳，且抖振小，同时跟踪的微分信号其值较大，符合阶跃信号瞬间变化时，其变化率极大的情形。

2.2 改进微分跟踪器估计系统状态性能仿真

研究对象为：

输入信号：阶跃信号，幅值为10，起始时间为1s；研究内容：研究改进的3阶微分器估计系统状态x1、1、2，3的性能（据此法，将2阶跟踪微分器拓展为三阶跟踪微分器）。

如图3～图5所示，当输入幅值10的阶跃信号时，系统实际状态变量x1、1（或x2）、2（或x3），与以y＝x1作为输入信号v（t）的改进跟踪微分器输出的估计值1、1（或2）、2（或3）几乎重合，这也证明了改进微分器在估计系统状态变量时的有效性。

3 结论

本文所设计的改进跟踪微分器是Lyapunov意义下稳定的系统，具有全局稳定性和快速收敛性。通过仿真比较及验证，证明了改进跟踪微分器具有较好的跟踪效果，且其形式简单，跟踪时无抖振现象，是一款较好的跟踪微分器。