具梯度耗散与非局部源牛顿渗流方程解的爆破性质

何 冰, 凌征球

(1. 吉林大学 数学学院, 长春 130012; 2. 玉林师范学院 数学与统计学院, 广西 玉林 537000)

0 引 言

考虑如下非线性扩散方程的初边值问题:

(1)

其中:Ω为n(n≥3)中具有光滑边界的有界区域;m,r>1,p,q≥0,a,b>0; 初值u0(x)连续且满足相容性条件. 具有梯度耗散项和非局部源项的牛顿渗流方程初边值问题(1)应用广泛, 可用于描述多孔介质中的流体运动或人口动力学模型[1-3]. 对于不含非局部源项与梯度耗散项的情形, 即q=0,b=0, 问题(1)已被广泛研究, 并取得了很多结果[4]. 当pm, 则问题(1)存在有限时刻发生爆破的解. 文献[5]利用上下解方法将上述结果推广至含非局部源项的情形, 即q≠0,b=0, 证明了: 当p+q≤m, 且a充分小时, 问题(1)存在整体正解, 若p+q>m, 则小初值的解整体存在, 大初值的解爆破, 解发生的时间下界由Liu等[6]给出. 文献[7]研究了问题(1)同时含有非局部源与内部吸收源-us的情形, 得到了爆破时间下界的估计. 对于含有梯度耗散项的情形, 文献[8]讨论了含局部源的p-Laplace方程初边值问题, 给出了解发生爆破与否的充分性条件, 并给出了爆破发生时间的界估计. Andreu等[9]利用正则化方法证明了问题(1)解的整体存在性. 本文考虑问题(1)解的爆破现象, 首先给出解是否发生爆破的条件, 然后对爆破时间的界进行估计.

1 非爆破情形

下面给出问题(1)的解不发生爆破的条件. 定义辅助函数

(2)

利用格林公式可得,

由

Hölder不等式:

以及式(3)可知

另一方面, 对任意常数δ>1, 再次应用Hölder不等式, 有

在Rayleigh不等式

(5)

中, 令w=vδ+1, 即得

(6)

其中λ1为下列问题的第一特征值:

Δw+λw=0,w>0,x∈Ω;w=0,x∈∂Ω.

(7)

在式(6)中, 取v=u(m+r-1)/r和2(δ+1)=r, 有

(8)

在式(5)中取w=u(2m-1)/2, 则

(9)

因此, 结合式(4),(8),(9), 得

下面估计I1和I2. 利用Hölder不等式易见

(11)

(12)

这里应用了条件m>1和p+q

类似地, 在条件p+q

综合式(13),(14), 有

其中:

定理1若p+q

2 爆破情形

下面讨论问题(1)的解发生爆破的条件, 并给出解发生爆破的时间估计. 引入辅助函数:

(16)

利用方程计算可得

(17)

其中

且

设m>q+3, 且初值函数u0(x)满足下列条件:

易见ut≥0,Δu≥0, Ψ1≥0及

故结合式(19)可知

联合式(16),(17),(20)以及Schwarz不等式, 有

即

进而

(21)

对式(21)从0到t关于t积分, 有

(22)

显然, 不等式(22)不可能对所有的t都成立, 故证明了u在有限时刻T发生爆破. 特别地， 有

(23)

综上, 有：

定理2假设p+q>m, u为问题(1)的非负解. 若m>q+3, 且初始函数u0(x)满足条件(i)～(iii), 则u在有限时刻T发生爆破, 且其上界估计由式(23)给出.

同理, 若p+q>r, 则相应式(18)中的辅助函数Ψ1(t)可换为

从而可得：

上面给出了问题(1)的解发生有限时刻爆破的充分性条件以及在该条件下爆破时间的上界估计. 下面在更一般的条件下, 利用文献[10-11]的微分不等式技巧, 考虑问题(1)解的爆破时间下界估计. 为方便, 定义辅助函数

(24)

在问题(1)的方程两端乘以uk后, 积分可得

注意到

其中λ1为问题(7)的第一特征值. 故

(26)

为了得到问题(1)解发生爆破时间的下界估计, 先对式(26)右端第二项进行估计. 利用Schwarz不等式与Young不等式, 有

(27)

从而由式(26)可得

(28)

再注意到

再次应用Sobolev不等式[12], 由式(28)得

(29)

将式(29)关于t从0到t(t

(30)

综上, 可得：