基于Copula函数的输水工程径流丰枯补偿特性研究

王 妍，王 强

（1.辽宁省白石水库管理局，辽宁朝阳 122000；2.中水东北勘测设计研究有限责任公司，吉林长春 130021）

0 引言

跨流域调水工程是解决我国水资源时空分布不均匀、实现水资源优化配置的重要工程措施，通过径流补偿可提高受水地区的供水保证率，保障生产、生活、生态用水安全。径流补偿特性分析的实质是根据不同流域（水文区）径流或降雨的丰枯遭遇情况，分析各流域之间的补偿性能，为流域内水利工程的规划设计以及水资源的联合开发利用提供重要的科学依据[1]。而丰枯遭遇问题在数学上属于多维联合概率和条件概率问题[2]。在水文领域，不同水文事件遭遇和联合分布概率可描述为二维联合概率分布问题。目前，许多学者提出了许多具有代表性的二维联合概率分布模型用于求解两变量的水文联合分布问题，包括二维正态分布模型、二维对数正态分布模型、混合Gumbel模型、二维P-III分布模型以及由二元Copula函数建立的联合分布模型等[3-5]。其中基于二元Copula函数的联合分布模型可以描述变量之间非线性、非对称的相关关系，具有模型简便、适用性强的特点[6]，数学意义明确，在条件概率计算等方面优于传统统计法[7]，在径流丰枯遭遇研究中得到了广泛的应用。因此，本文利用Copula函数构建了大伙房水库输水工程水源区和受水区径流量的二维联合分布模型,计算丰枯遭遇的概率组合，验证输水工程的调水保证率，为工程调度决策提供技术参考。

1 工程背景

大伙房水库输水工程由桓仁水库发电弃水，通过西江和凤鸣两座电站调节，在凤鸣库区取水，再通过82 km隧洞，调水到大伙房水库上游苏子河，流入到大伙房水库。通过大伙房水库反调节后，供水到沈阳、大连、鞍山、抚顺、营口、辽阳、盘锦等7座城市及鞍钢、辽河油田等大型企业，设计年调水量21亿m3。

研究跨流域调水工程水源区桓仁水库和受水区大伙房水库径流补偿特性分析，计算现状水平年（2015年）供水情况下的调水保证率及设计调水能力情况下的调水保证率，对辽宁省中下游水库群联合优化调度和区域水资源优化配置[8]具有重要意义。本文选取桓仁水库和大伙房水库1970—2015年共46年实测的径流资料进行分析计算。

2 基于Copula函数的二维联合分布模型

Copula函数是定义在［0，1］区间均匀分布的多维联合分布函数，它可以将多个随机变量的边缘分布连接起来构造联合分布模型[9]，理论依据是Sklar定理[10]。本文采用的是二维Copula联合分布模型，其理论依据可表述为：设X和Y为连续随机变量，其边缘分布函数分别为Fx(x)和Fy(y)，联合分布函数为F(x ,y)，如果Fx(x)和Fy(y)连续，则存在唯一的Copula函数Cθ(u ,v)使得

式中：Cθ(u ,v)是Copula函数；θ为待定参数。

本文采用水文领域中经常采用的是Archime⁃dean型中Clayton函数，其中τ是描述二维变量间非线性相关关系的Kendall相关系数[11]，当τ已知时，可根据表1中τ与θ的关系来求出参数θ，其中τ可由下式计算：

式中：

本文选取Copula函数中的Clayton函数，具体表现形式如表1所示。

表1 Copula函数形式

2.1 径流分布的确定

在我国水文分析中，对于单变量水文数据系列的分析常假定水文系列服从P-III型分布[12]。因此本文在构建联合分布模型时，随机变量和的边缘分布选用P-III型分布，其概率密度函数为：

式中：Γ（α）是α的伽马函数；α，β和α0分别为P-III分布的形状、尺度和位置参数，α＞0，β＞0，并且采用优化适线法可估计出径流系列的P-III型分布的统计参数。表2计算出了两座水库年径流的统计特征参数。

本文应用copula函数构建的二维理论联合分布与经验联合分布拟合效果较好，相关系数超过0.99，能够代表实际过程，并且可以有效弥补经验分布受水文数据年限等因素限制的缺点，具有较强的适用性。拟合效果如图1所示。

表2 大伙房与桓仁水库入库径流分布参数估计结果

图1 经验频率与理论频率拟合效果示意图

2.2 径流丰枯遭遇分析

本文采用频率分析法对径流进行丰枯划分，按GB/T50095-98《水文基本术语和符号标准》[13]各水库入库径流划分标准：丰水年P≤37.5%；平水年37.5%＜P≤62.5%；枯水年P＞62.5%。

根据上面所建立的二维联合分布模型对不同水文区的径流组合丰枯遭遇性进行研究[14]，则两个径流事件和之间的丰枯遭遇情形可以分为以下9种类型：

以上9种类型又可分为丰枯同步（3种）和丰枯异步（6）两种类型，对浑河流域和浑江径流进行径流丰枯遭遇分析。

3 不同径流频率组合概率

通过对Copula函数联合分布模型求解计算，τ=0.67，θ=4.56，两个流域径流频率组合概率如表3所示。

表3 大伙房水库与桓仁水库径流丰枯遭遇频率 （%）

根据计算可知，大伙房水库和桓仁水库年径流丰枯同步的概率是72.6%，丰枯异步的概率是27.4%；出现调水最不利组合大伙房和桓仁同枯时的概率是31.7%。通过计算可知，2座水库来水频率相近，趋势一致性显著[15]，正相关系数达到0.94，并不利于径流补偿调节，因此需要进一步验证调水工程的实际调水保障能力。

4 调水保证率计算分析

4.1 现状水平

现状水平以2015年为基准年，计算桓仁水库满足大伙房水库输水工程调水需求的保证率，大伙房水库及输水工程年生活及工业供水量14亿m3，农业供水4亿m3，年供水量18亿m3以上；考虑到蒸发损失0.9亿m3，年最枯径流5亿m3，大伙房水库最大需水量约13.9亿m3，根据桓仁水库来水频率计算，调水保证率99%以上。

4.2 设计能力

根据大伙房水库输水工程设计年调水量21亿m3，考虑桓仁水库蒸发渗漏损失及水库调节运行需要，径流量保证22亿m3以上，根据桓仁水库来水频率计算，调水保证率99%以上。

5 结语

本文构建了Copula联合分布模型，以P-III型分布为边缘分布，并将此模型应用于大伙房水库输水工程水源区桓仁水库和受水区大伙房水库径流丰枯遭遇分析中，计算不同径流频率组合概率。计算结果表明两个流域径流趋势性显著，正相关系数达到0.94，丰枯同步概率为72.6%，对径流补偿调节并不有利。基于此，结合工程实际验证了工程的调水保障能力。在现状供水水平情况下，调水保证率可达99%；设计供水能力情况下工程的调水保证率为95%，与原工程设计成果基本一致。