随机矩阵研究

刘 艳

（吕梁学院汾阳师范分校，山西汾阳032200）

1 预备知识

随机矩阵作为非负矩阵的一种，适用于非负矩阵的各种概念和结果。为了更容易理解随机矩阵，我们首先介绍非负矩阵的有关概念和性质。

定义1[1]设A=(aij),B=(bij)∈Rm×n，如果对所有的i,j都有aij≥bij，则记为A≥B。如果对所有的i,j都有aij＞bij，则记为A＞B，特别的，如果A≥0，则称A为非负矩阵。如果A＞0，则称A为正矩阵。

我们用||A表示任意矩阵A=(aij)∈Cm×n的元素取模之后得到的非负矩阵，即 ||A=(||aij)；特别的，当x=(x1,x2,…,xn)T∈Cn时，||x=(||x1, ||x2,…, ||xn)T。

考虑n个随机事件组S1,S2,…,Sn及时间序列t0,t1,t2,…,tn，如果在这些时刻的每一瞬间，这事件组有且只有一个能够出现，如果在时刻tk-1出现的事件为Si，则Si在时刻tk出现的概率记为pij(i,j=1,2,…,n;k=1,2,…)。又假设条件概率pij(i,j=1,2,…,n)与下标数k无关。

当给出了有限事件的纯马尔科夫（Markov）链时，也就说给出了条件概率矩阵P=(pij)n×n。对条件概率矩阵P=(pij)n×n，显然有

引理1[2]若A为随机矩阵，则其对应于特征值1的Jordan块均为一阶的。

引理2[1]n阶非负阵A为不可约的充分必要条件是(E+A)n-1＞0。

2 随机矩阵的定义及有关结论

定义2[3]非负矩阵A=(aij)n×n称为一个随机矩阵，如果A的每一行上的元素之和都等于1，从随机矩阵的定义可知，随机矩阵A有特征值1，并且与之对应的有正特征向量Z=(1,1,…,1)T。反之，若每个非负的n阶矩阵A有特征值1，并且对应于1的特征向量为(1,1,…,1)T时，则A都是随机矩阵。

定理1非负矩阵A=(aij)n×n为随机矩阵的充分必要条件是矩阵A有特征值1，并且n维向量Z=(1,1,…,1)T是与1相应的一个正的特征向量。

容易看出，随机矩阵A的其他特征值的模都不超过1。因此，特征值1就成为了随机矩阵A的极大特征值[4]。

下面介绍一种特殊的非负矩阵，即具有正极大特征值与对应正特征向量的非负矩阵，它与定义2中的随机矩阵具有密切关系。

定理2若非负矩阵A=(aij)n×n有正的极大特征值r=ρ(A)＞0，并且对应于特征值r有正的特征向量Z=(z1,z2,…,zn)T＞0，则矩阵A能相似于数r与某个随机矩阵P的乘积

也即，(B-1AB)∕r为随机矩阵。

证由于

定义对角矩阵

及矩阵

因而

再结合式（3）可得

因此，P为随机矩阵，并且有A=B(rP)B-1，证毕。

3 随机矩阵A的幂序列{Am}的收敛性

在实际应用中，常常需要考虑随机矩阵A的幂序列{Am}的收敛性。

定理3设A为n阶随机矩阵，则A的幂序列{Am}收敛的充分必要条件是A的不等于1的特征值的模均小于1。

证明由引理1，A的对应于特征值1的Jordan块均为一阶的.于是存在可逆阵P使得

其中，Ji(λi)是Jordan块；λi≠1, ||λi＜1,i=1,2,…,l，则对于任意正整数m，有

由式（7）可知，A的幂序列{Am}收敛的充分必要条件是λi≠1,|λi|＜1,i=1,2,…,l。证毕。

下面通过实例说明定理3的应用。

例考虑3个高校间的人才流动问题。设甲、乙、丙3个高校各有专业人才分别为200人，600人，1 000人，教育行政主管部门要求每年每个单位把所有人才各分一半与其他两个单位交流。问明年、后年3个高校的人才分布情况如何？多年后各单位的人才期望值是多少?

解我们用分别表示第k年甲，乙，丙3个单位的人才数，则表示一个具有三个状态的齐次Markov链，它的转移矩阵和初始分布向量分别为

并且πk满足

于是

由于P的特征值为，从而由定理3可知，lki→m∞Pk存在。事实上

令k→∞，对式（8）两边取极限可得

式（9）即说明多年后，甲、乙、丙3个单位的人才数为一稳态的分布向量

此外，由于E+P＞0从而(E+P)2＞0，由引理2可知，P是不可约的非负矩阵。