关于不定方程x2-7y4=233

2018-07-18刘杰

安阳工学院学报 2018年4期

刘杰

（三明医学科技职业学院，福建三明365000）

0 引言

关于不定方程x2-Dy4=C(其中D，C为给定的整数，且D＞0为非平方数)曾有多人研究。设N(D，C)为方程x2-Dy4=C的正整数解的组数，文献[1]证明了以下几个结果：N(5，44)=1，(x，y)=(7，1)；N(5，11)=2，(x，y)=(4，1)和 (56，5)；N(5，-44)=3，(x，y)=(6，2)，(19，3)和 (181，9)。文献[2]证明了在y≡ 0(mod 8)时，N(2，17)=0，N(2，41)=0，N(8，17)=0，N(2，97)=0 。文献[3]证明了N(3，97)=1，(x，y)=(10，1)。文献[4]证明了N(3，397)=1，(x，y)=(20，1)。运用递归序列、同余式和平方剩余方法，学者对不同类型不定方程也有不少研究及成果[5-8]。

本文利用递归序列，同余式和平方剩余的方法证明了不定方程x2-7y4=233仅有正整数解(x，y)=(45，4)。

1 定理及证明

但当n≥0时，7Un+24Vn＞0，n＜0时，7Un+24Vn＜0，n＞0时 7Un-24Vn＜0，n≤0时，7Un-24Vn＞0因此（1）式的解可归结为：(ⅰ)Yn=y2=7Un+24V（nn≥0），或(ⅱ)Yn=y2=-7Un+24Vn(n＞0)。

亦即只要证明Yn=7Un+24Vn或Yn=-7Un+24Vn是否是一个完全平方数。

可以验证以下3组关系式成立：

2 讨论

2.1 情形(ⅰ)Yn=7Un+24Vn（n≥0）

由关系式① 对{Yn}取模3得剩余类序列周期为4，当n≡ 1，3(mod 4)时Yn≡2(mod 3)，因为（2∕3）=-1（其中a∕p表示jacobi符号），所以Yn不可能是一个平方数，从而使Yn=y2=7Un+24Vn无整数解。以下排除的数都是据计算(a∕p）=-1得出Yn不可能是一个平方数，从而使y无解。取模8得剩余类序列周期为4，当n≡0(mod 4)时Yn≡7(mod 8)是模8的平方非剩余，使Yn不是一个平方数。剩n≡2(mod 4)等价于n≡2，6(mod 8)，取模127得剩余类序列周期为8，当n≡6(mod 8)时Yn≡118(mod 127)使Yn不是一个平方数。剩下n≡2(mod 8)等价于n≡2，10(mod 16)。取模32257得剩余类序列周期为16，当n≡2,10(mod 16)时，Yn≡2041，30216(mod 32257)使Yn不是一个平方数。至此，对所有的n均使Yn=7Un+24Vn不可能是一个平方数，从而y无整数解。

2.2 情形(ⅱ)Yn=-7Un+24Vn(n＞0)

对{Yn}取模3得剩余类序列周期为4，当n≡ 0，2(mod 4)时Yn≡2(mod 3)，因为（2∕3）=-1(其中a∕p表示jacobi符号)，所以Yn不可能是一个平方数，从而使Yn=y2=-7Un+24Vn无整数解。取模8得剩余类序列周期为4，当n≡ 3(mod 4)时Yn≡7(mod 8)，使Yn不是一个平方数。剩下n≡ 1(mod 4)等价于n≡ 1，5，9，13，17(mod 20)。取模239得剩余类序列周期为 20，当n≡ 5，9，13，17(mod 20)时，Yn≡ 7，111，129，215(mod 239)使Yn不是一个平方数。则剩下n≡1(mod 20)才使Yn可能是一个平方数。

当n≡1(mod 20)n≠1时设n=1+2×5×2t×k,(k≡1(mod 2),t≥1)令