基于改进灰色GM(1,1)模型的GDP预测实证

田梓辰，刘 淼

（伊犁师范学院 数学与统计学院，新疆 伊宁 835000）

GDP预测的方法有很多，GM（1,1）预测模型[1]就是其中最常见的一种。经典的GM（1,1）预测公式是在数据较少、信息缺失的条件下利用相关数据生成规律预测事物的未来发展趋势[2]。但是，它也存在局限性[3]，本文利用改进的拉格朗日插值方法，通过对GM（1,1）模型的背景值进行重构，来消除传统拉格朗日插值带来的龙格现象[4]，进而达到对新疆GDP的精准预测。

1 理论依据

1.1 传统灰色预测GM（1,1）模型[5]

其中：

还原值为：

其中 k=1，2，…，n-1。

传统模型中利用紧邻均值构造背景值（即z(1)(k+采用直边梯形面积S(k·x(1)(k)·x(1)(k +1)·(k +1))代替指数曲线x(1)(t)为曲边的梯形面积，如图1所示，该方法具有一定的缺陷，随着指数的增加，数据序列的变化加剧，预测结果会出现较大的偏差（出现ΔS）[2]。在一定程度上影响了模型的适用性。

图1 灰色预测GM（1,1）模型预测偏差示意图

1.2 插值模型的构造

为了克服传统灰色预测模型的不足，本文采用插值优化法构造全新的背景值[6-9]，利用数值逼近思想，结合插值算法解决这个问题，达到降低偏差、提高预测精度的目的。

具体步骤如下：

即：

也就是：

由背景值：

下面对背景值z(1)(k +1)作数值处理。

1.2.1 拉格朗日插值

算法步骤如下：

（1）以k，k+1，k+2三个点作为插值节点，则 x(1)(t)的拉格朗日插值多项式pk(t)为：

（2）由辛普森公式得新的背景值：

上式采用的拉格朗日插值得到的GM（1,1）模型的新背景值，将新的背景值带入经典GM(1,1)模型中即可得到改进的预测模型。

1.2.2 组合拉格朗日插值

由于朗格朗日插值会出现龙格现象使预测出现偏差，为避免龙格现象的发生，对朗格朗日插值进行改进，具体步骤如下：

（1）对 区 间 [k ， k+1]三 等 分 ，得 节 点

则此时：

由上式可得：

（3）求区间[k ， k+1]上的分段插值函数：

将（2）的结论带入上式得到优化的背景值：

上式采用的拉格朗日插值得到的GM（1,1）模型的新背景值，将新的背景值带入经典GM(1,1)模型中即可得到改进的预测模型。

2 应用

以新疆2006—2015年GDP历史数据作为建模数据，用2006—2013年新疆GDP水平做出预测模型，检验2014年、2015年新疆GDP水平，从而预测未来三年新疆GDP水平。采用上文所提出的组合插值模型与传统GM（1,1）模型、拉格朗日插值模型进行预测比较，模型计算结果如表1所示。

表1 2006—2013年新疆GDP原始数据 （单位：亿元）

从表2可以看出，采用本文中提出的改进拉格朗日插值优化背景值的方法进行预测，其平均相对误差为8.40%，预测精度比传统GM（1,1）与拉格朗日插值方法有所提高，证明了背景值的重构严重影响数据预测的精度，同时也表明了本文提出方法的精确性与有效性。用上文方法，预测了未来三年新疆GDP，如下页表3所示。

表2 2014年、2015年新疆GDP预测结果

表3 新疆GDP预测

基于表2，可以看出GM（1,1）预测的结果误差较大，改进的拉格朗日插值预测方法误差有所降低，因此这一方法可以有效地预测新疆未来三年的GDP情况。

从表1可以看出，近十年来新疆GDP呈上升趋势，从2006年的3045.26亿元到2015年的9324.80亿元，增长幅度达到了三倍多，这一点与新疆的经济发展相符合。根据预测的新疆GDP结果可以看出，到2017年，新疆GDP将突破1万亿元，到2018年将达到13056.02亿元，新疆可以根据预测结果做出充分的经济决策。

3 结束语

本文通过构建改进的拉格朗日插值灰色预测模型，预测新疆2016—2018年GDP，经过与其他两种预测模型比较，可以看出本模型精度较高，能反应实际发展趋势。本文的研究对新疆经济发展预测有一定的参考价值，有助于政府部门针对预测结果做出合理的经济决策。

灰色预测模型在适用条件上适合指数分布数据，本文给出的方法是在经典GM(1,1)灰色预测模型的基础上进行了背景值的重构，在使用条件上依然遵循GM(1,1)模型规律，也就是说该模型对服从指数分布的数据具有较高的精确预测。

在数据处理的过程中，对于短周期内变化较小的数据，经典的GM(1,1)预测模型预测结果要比改进的拉格朗日插值预测效果明显，所以针对不同的数据，要合理地选取预测模型进行数据处理.