波的反射率和透射率的统一形式规律

李楚元

(一诺仪器(中国)有限公司，上海 200233)

0　问题的提出

声音、可见光、无线电波、地震波、物质波、引力波等是不同类型的波，波是自然界中最普遍的物质运动形式。对波的研究和认识的加深，不仅推动着人类认知的不断前进，同时也改变了人们的生产生活方式，例如引力波的发现改变了人们对宇宙空间的认识[1]，而无线电通信带来的移动通信革命深刻影响了人类社会的演进。各种类型的波虽然各有特点，但也有着共同的特性，比如干涉、衍射和叠加效应。除此之外波还有其他共同的特性。本文以电磁波、机械波和传输线上的交流电为例，来探究波的反射率和透射率的共同特性。发现虽然不同类型的波的传播有各自的载体和物理特征，但在垂直入射时它们的反射率和透射率有相同的数学形式。

电磁波是最常见的波。无线电波、红外线、可见光、紫外线、X射线以及伽马射线等都是电磁波，区别仅是频率的不同。19世纪物理学家麦克斯韦在总结前人工作的基础上，提出了位移电流假说并推广电流的含义，概括提出了一组描述电磁现象的方程。这组方程称为麦克斯韦方程组[2]。通过这组方程麦克斯韦预言了电磁波的存在，并预言光也是一种电磁波。后来赫兹在实验上观测到了电磁波的存在。现代无线通信技术的发展及各种电磁设备的运用完全证明了麦克斯韦方程和电磁理论的正确性。

物体机械振动的传播称之为机械波。比如声音、水波以及地震波就是机械波。对声波的深入研究让人类谱写出了美妙的乐章，对地震波的研究可以减少地质灾害。和电磁波一样，机械波与我们的日常生活有着紧密的联系。

在传输线上传输的电能其载体也是电磁波，而不是导体内的电子或其他载流子。导线内部的自由电子和传输线内部及周围的电磁场相互制约，从而使电磁能量沿着导线传输。原则上传输线问题也可以通过求解麦克斯韦方程得到结果，但是直接求解实际边界条件的麦克斯韦方程往往比较复杂，而对于直流和低频交流电采用电路分析的方法比较简单有效。因此采用电压、电流、阻抗等参数单独研究传输线问题有着实际的意义。

由傅里叶分析知道，任何形式的波都可以用平面波来展开。一组平面波构成一组正交、完备的基。同时由波的叠加原理，我们就可以只研究平面波来探究波的反射、透射规律。单色平面波波函数表达式为

其中，|E0|为振幅;k为波矢;ω为圆频率。振动方向E0和波矢k方向相同(垂直)的为纵波(横波)。在均匀介质中传播的电磁波为横波;声音以及液体中的机械波均为纵波;而固体既有切变又有容变，因此固体中既可以传播纵波又能传播横波，例如地震波既包含横波也包含纵波。

波在传播的过程中遇到不同介质会在界面处发生反射和折射现象。由惠更斯原理知道折射和反射的角度，本质上是由波在不同介质的传播速度决定的

其中，α为入射角;β为反射角或折射角;v1为入射波速;v2为反射或折射波速。

垂直入射时，不管是电磁波还是机械波，入射单色横波或纵波的反射波和折射波依然是相同频率的横波或纵波。因此，为方便比较我们这里只讨论垂直入射的情况。

自然界中最具普遍意义的物理量就是能量，能量在界面处的分配即反射率和透射率是研究波动问题的核心。本文通过分析不同波的反射率和透射率来窥探波的一些共通属性。

1　反射、透射率的研究

1.1　垂直入射电磁波的反射率、透射率

对平面波而言，同种介质中的传播过程并不改变波的性质。反射和折射的相位、振幅及能流关系是由界面处的边界条件决定的。对于电磁波，原则上所有问题都可以通过求解麦克斯韦方程解决。电磁波界面处的边值关系可以由麦克斯韦方程组的积分形式描述：

其中，E、B、D、H、If和Qf分别为电场强度、磁感应强度、电位移矢量、磁场强度、自由电流和自由电荷。

要求解此方程还需要知道介质的一些电磁性质，对于各向同性的线性介质，有以下一些线性关系式

其中，ε、εr、ε0和χe分别为介质电容率、相对电容率、真空介电常数和介质极化率;μ、μr、μ0和χM分别为介质磁导率、相对磁导率、真空磁导率和介质磁化率;σ为电导率。必须要指出的是上述电磁关系式仅适用于各向同性非磁介质，实际材料的电磁性质关系大多是各项异性非线性的。关于介质的非线性电磁性质的研究依然是当今凝聚态物理研究前沿之一，在此不做展开。

把麦克斯韦方程组(3)应用到两介质的界面处，可得到如下的边值关系

其中，en、α和σ分别为界面的法向单位矢量、自由电流线密度和自由电荷面密度。在讨论时谐波时，上述边值关系不是完全独立的，由前面两个关系式可以得到后面两个关系式。

先考虑一般情况。由傅里叶频谱分析可知，若入射波为平面波，则反射波和折射波也为平面波。平面电磁波为横波，电场分量E、磁场分量H和波矢k两两正交并呈右手螺旋关系。入射波、反射波和折射波的波函数表达式为

一般界面处无自由电荷、电流，由边值关系(5)可得：en×E+E()′|z=0=en×E″|z=0，即

其中，振幅矢量E0、E′0和E″0为常量。要使得上式成立，在z=0面，所有场的时间和空间变化必须相同，因此要求所有的相因子在z=0面必须相等。即

其中，r的x、y坐标分量和时间t都是独立变量，因此：

从关系式(9)可以看出，反射波、折射波和入射波在同一平面内，并且它们的频率也相同。反射角θ′、折射角θ″和入射角θ的关系也可以由上面关系式得出

其中，v1和v2表示两种介质的波速，由关系式(9)、式(10)和式(11)可得

其中，n1和n2代表两种介质的折射率，式(12)就是反射定律和折射定律的一般表达式。

当平面电磁波垂直入射到界面上时，电场分量E、磁场分量H和波矢k的方向如图1所示，结合边值关系式(5)可得到

图1　平面电磁波从介质1垂直入射到介质2中的示意图垂直入射时，不失一般性可选择电场分量E垂直纸面向里，磁场分量H和波矢k均在纸面内，E、H和k两两正交

对于非磁线性介质，有关系式

联立式(13)、式(14)可得反射波和折射波电场分量与入射波电场分量的关系

对于一般的非铁磁介质有μ≈μ0，结合折射规律式(12)，可用折射率表示反射波、折射波与入射波电场分量之间的关系

线性均匀介质中平面电磁波的平均能流密度¯S表达式为

由平均能流密度公式(17)和电场分量之间的关系式(16)就可以得到反射率R和透射率T的表达式

显然

这就是能量守恒定律在电磁波传播中的体现。

由以上推导可以看出，反射和折射规律是由边值关系决定的。

1.2　垂直入射机械波的反射、透射率

类比前面电磁波的规律，下面研究单色平面机械波在界面处的反射和折射现象。电磁波本身是一种物质，其传播不需要介质;但是机械波是机械振动在介质中的传播，不能离开介质而传播。机械波和介质本身的属性密切关联，例如气体和液体中只能传播纵波，而固体中既能传播横波又能传播纵波。对单色平面电磁波而言，入射波、反射波和折射波均为横波。其角度关系、反射率及透射率分析起来均比较简单。而对固体中的机械波，单一的纵波或横波在斜入射时，反射波和折射波中既包含纵波也有横波。由于横波和纵波的波速不同，折射波和反射波会各自分成两束波，其角度关系、反射率及透射率分析起来变得很复杂。为便于和电磁波进行对比，这里只考虑垂直入射的情况，此时若入射波为平面横(纵)波，反射波和折射波也为平面横(纵)波。这时入射波、反射波和折射波的振动波函数可分别表示为

与电磁波类似，要得到机械波的反射、折射规律，首先要找出界面处的边值关系。这里选择位移连续和能流守恒两个条件作为边界条件[3]

首先考虑式(22)中的第一个条件，界面处的振动位移矢量必须相同，即

其中，振幅矢量L0、L′0和L″0为常量。要使得上式成立，在z=0面，所有波的时间和空间变化必须相同，因此要求所有的相因子在z=0面必须相等。即

其中，r的x、y坐标分量和时间t都是独立变量，可得

从关系式(26)可以看出，反射波、折射波和入射波的振动方向在同一平面内，并且振动频率也相同。这和电磁波的结果是一致的。

然后考虑式(22)中的第二个条件，能流密度矢量在界面处连续。固体中的机械波能流密度矢量为

其中，ρ和v分别为介质的密度和波速。液体和气体没有切变，相应的能流密度矢量是固体的1/2。结合式(22)、式(26)有

联合位移连续和能流守恒两个条件得到的关系式(25)和式(28)可得反射波和折射波振幅与入射波振幅的关系

由平均能流密度表达式

结合振幅关系式(29)可得反射率R和透射率T表达式分别为

反射率：

透射率：

其中，介质的密度和波速的乘积ρv可以定义为介质的阻抗z：

这样

反射率：

透射率：

对比式(18)、式(19)，我们发现机械波的反射率和透射率和电磁波有着相同的数学表达式。显然反射率和透射率的和也满足能量守恒，即

1.3　传输线上电能的反射透射率

原则上电路问题也可以结合电路边界条件和麦克斯韦方程组求解。但是实际电路的边界条件一般比较复杂，场方程的直接求解比较困难。一种简单有效的方法是通过电路分析来求解。因此电路问题可作为单独的一类问题来处理。

当传输线的几何长度远小于导波的波长时，此时的导线称为短线。这样可认为传输线上的电流电压的幅度和相位与空间距离无关，仅是时间的函数。而当传输线的几何长度可以和导波的波长相比拟时，传输线上的电流电压不仅随时间变化，也随距离变化，此时电路的特性往往主要取决于传输线上的分布电阻、电感、电容、电导。导波的波长与频率成反比，因此对高频电路必须要考虑传输线行为。

为便于推导和比较，下面只讨论均匀传输线上的传输行为[4]。考虑一平行双导线传输系统，根据基尔霍夫电压、电流定律可得：

其中，u( z，t)和i( z ，t)分别为距离始端z处的瞬时电压和瞬时电流。R、L、G和C分别为传输线单位长度的电阻、电感、电导和电容。

一般传输线上的电压电流都是时谐变化的，用复数形式表示可以简化运算

因此复电压、复电流方程可写为

其中，Z=R+jωL，Y=G+jωC分别为串联阻抗和并联导纳。联立方程组(36)可得

其中，γ2=ZY=(R+jωL)(G+jωC)。方 程 通解为

其中，

其中，Z0为导线的特性阻抗;Y0为导线的特性导纳。γ为传播常数，实部α代表衰减、虚部β为相移常数。

令U+=|U+|ejφ+，U-=|U-|ejφ-则电流、电压可表示为

式(40)和式(41)中，第一项均表示入射波，第二项均表示反射波。

若已知终端电压Ul和电流Il，并令可定出通解(38)的系数U+和U-，此时的特解为

输入阻抗为

电压反射系数为

输入阻抗Zin()z和电压反射系数Γ(z)之间的关系为

或者

传输线任意一点处的平均传输功率为

任意点功率反射系数为

任意点透射系数为

我们发现传输线上的反射率和透射率式(48)、式(49)和电磁波以及机械波在界面处的反射率和透射率公式的数学形式是完全一样的。

1.4　一维定态中波的反射率和透射率

在前面的3小节中我们讨论的都是经典物理中波的反射、透射规律。微观世界中，物质的运动需要用量子力学来描述。在量子力学中物质的状态用波函数描述，波函数的模方代表物体出现的几率分布。因此量子力学中的波(即物质波)是几率幅，与经典物理中的波有着本质的不同。得到波函数需要解薛定谔方程，这里我们以一维“阶梯”势的定态问题为例来研究量子力学中波的反射、透射规率，并与经典物理中的波比较[5]。

考虑一维“阶梯”势场如下

设一能量为E的粒子自左向右入射到势垒。在经典力学中，若粒子的能量E小于势垒高度V0，则粒子在边界处将全部被反射回来;反之，若大于势垒高度，则粒子将全部越过势垒边界。在量子力学中，情况将变得非常不同。

1)当E＞V0时，薛定谔方程为

令

则方程(54)的通解为

其中，入射波、反射波和透射波的系数分别为A、B、C，它们由边界条件和归一化条件决定。由波函数及其一阶导数在边界处连续可得：

由此可得到，入射波、反射波及透射波系数之间的关系为

由一维几率流密度表达式：

可得入射波、反射波和透射波的几率流密度分别为

其中，负号表示反射波方向。因此反射率、透射率分别为

可以看到，当E＞V0时，一维定态波在势垒边界处的反射率和透射率与经典物理中的波有着相同的数学表达形式。不同的是虽然粒子的能量大于势垒高度，粒子仍有一定的概率被反射回来，这和经典物理图像有着本质的不同。

2)当E＜V0时，令

则方程(54)的通解为

由波函数及其一阶导数在边界处连续可得

此时入射波、反射波和透射波的几率流密度分别为

因此反射率和透射率分别为

反射率的数学表达和经典物理仍然有着同样的形式。不同的是尽管反射率为1，但是在x≥0的区域找到粒子的概率并不为零，只是概率密度呈指数衰减。同时反射波和入射波有一个相位差。

2　结语

本文中我们通过边界条件计算分析了电磁波、机械波、传输线电波以及量子力学中的几率波在界面处的反射及透射规律。通过计算比较我们发现平面电磁波、机械波垂直入射时的反射率及透射率公式以及传输线上的反射率及透射率公式的数学形式是完全一样的。虽然量子力学的波与经典物理的波的物理图像有着本质不同，但一维定态中，波的反射率和透射率也有着与经典物理中相同的数学表达。这种数学形式一致性反映了波动规律的某种内在统一性。