函数信息迁移题的分类

文 /杨文金

函数信息迁移题的主要类型有:新概念、新公式、新定理、新法则、新运算等.这类题往往与开放性问题、探索性问题结合在一起,考查同学们的阅读理解能力和探究类比能力.

一、一次函数型

例 1 我们规定：当k，b为常数，k≠0，b≠0，k≠b时，一次函数y=kx+b与y=bx+k互为交换函数．如y=4x+3的交换函数为y=3x+4．一次函数y=kx+2与交换函数的交点的横坐标为．

二、反比例函数型

例2在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”．

（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？

（2）M，N是一对“互换点”，若点M（m，n），求直线MN的表达式（用含m，n的代数式表示）；

（3）在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A，B，其中点A在反比例函数的图象上，直线AB经过点，求此抛物线的表达式．

解：（1）不一定. 设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．

①当ab=0时，它们不在反比例函数的图象上；

（2）由M（m，n）得N（n，m），设直线MN为y=cx+d（c≠0）．

∴ 这一对“互换点”是（2，-1）和（-1，2）.将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，解得

三、其他

（1）若方程y′=0有两个相等的实数根，则m的值为；

例3对于函数y=xn+xm，我们定义y′=nxn-1+mxm-1（m，n为常数）．例如y=x4+x2，则y′=4x3+2x．解：根据题意得y′=x2+2（m-1）x+m2，

（1）∵方程x2-2（m-1）x+m2=0有两个相等的实数根，

∴Δ=[-2（m-1）]2-4m2=0，解得

例4 定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]=1，[-1.4]=-2，[-3]=-3．函数y=[x]的图象如图1所示，则方程[x]=0.5x2的解为（）

解：当1≤x＜2时，0.5x2=1，解得（舍去）；

图1

当0≤x＜1时，0.5x2=0，解得x1=x2=0；

当-1≤x＜0时，0.5x2=-1，方程没有实数解；

当-2≤x＜-1时，0.5x2=-2，方程没有实数解.

所以方程[x]=0.5x2的解为0或选A.