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函数信息迁移题的分类

2018-07-11杨文金

初中生 2018年18期
关键词:纵坐标横坐标反比例

文 /杨文金

函数信息迁移题的主要类型有:新概念、新公式、新定理、新法则、新运算等.这类题往往与开放性问题、探索性问题结合在一起,考查同学们的阅读理解能力和探究类比能力.

一、一次函数型

例 1 我们规定:当k,b为常数,k≠0,b≠0,k≠b时,一次函数y=kx+b与y=bx+k互为交换函数.如y=4x+3的交换函数为y=3x+4.一次函数y=kx+2与交换函数的交点的横坐标为.

二、反比例函数型

例2在平面直角坐标系中,将一点(横坐标与纵坐标不相等)的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”,如(-3,5)与(5,-3)是一对“互换点”.

(1)任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上?为什么?

(2)M,N是一对“互换点”,若点M(m,n),求直线MN的表达式(用含m,n的代数式表示);

(3)在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A,B,其中点A在反比例函数的图象上,直线AB经过点,求此抛物线的表达式.

解:(1)不一定. 设这一对“互换点”的坐标为(a,b)和(b,a).

①当ab=0时,它们不在反比例函数的图象上;

(2)由M(m,n)得N(n,m),设直线MN为y=cx+d(c≠0).

∴ 这一对“互换点”是(2,-1)和(-1,2).将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得,解得

三、其他

(1)若方程y′=0有两个相等的实数根,则m的值为;

例3对于函数y=xn+xm,我们定义y′=nxn-1+mxm-1(m,n为常数).例如y=x4+x2,则y′=4x3+2x.解:根据题意得y′=x2+2(m-1)x+m2,

(1)∵方程x2-2(m-1)x+m2=0有两个相等的实数根,

∴Δ=[-2(m-1)]2-4m2=0,解得

例4 定义[x]表示不超过实数x的最大整数,如[1.8]=1,[-1.4]=-2,[-3]=-3.函数y=[x]的图象如图1所示,则方程[x]=0.5x2的解为()

解:当1≤x<2时,0.5x2=1,解得(舍去);

图1

当0≤x<1时,0.5x2=0,解得x1=x2=0;

当-1≤x<0时,0.5x2=-1,方程没有实数解;

当-2≤x<-1时,0.5x2=-2,方程没有实数解.

所以方程[x]=0.5x2的解为0或选A.

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