生活中的函数问题

文 /谢小芳

函数是初中数学的重要内容.我们主要学习了一次函数、反比例函数和二次函数，它们在生活中的应用非常广泛，请看下面的例子.

一、生活中的函数模型

例1如图1，一种斜挎包的挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小敏用后发现，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．设单层部分的长度为xcm，双层部分的长度为ycm，经测量，得到如下数据：

图1

单层部分的长度x（cm）双层部分的长度y（cm）……4 6 8 150 73 72 71 10　……

（1）根据表中数据的规律，填写表格，并直接写出y关于x的函数解析式；

（2）根据小敏的身高和习惯，挎带的长度为120cm时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度；

（3）设挎带的长度为lcm，求l的取值范围．

解：（1）在表格两空中，分别填70，0.

由表格可知，y是x的一次函数，设y=kx+b.

∴单层部分的长度为90cm．

∴75≤l≤150．

点评：没有明确函数类型，需要探索表格数据呈现的规律，根据三类函数的特性，确定函数类别，用待定系数法求解析式．

二、生活中的函数最值

例2某蓝莓种植生产基地产销两旺，采摘的蓝莓部分加工销售，部分直接销售，且当天都能销售完，直接销售是40元/斤，加工销售是130元/斤（不计损耗）．已知基地雇佣20名工人，每名工人只能参与采摘和加工中的一项工作，每人每天可以采摘70斤或加工35斤.设安排x名工人采摘蓝莓，剩下的工人加工蓝莓．

（1）若基地一天的总销售收入为y元，求y与x的函数关系式；

（2）如何分配工人，才能使一天的销售收入最大，并求出最大值．

解：（1）y=[70x-（20-x）×35]×40+（20-x）×35×130=-350x+63 000．

∵x为正整数，且x≤20，

∴7≤x≤20，

在y=-350x+63 000中，k=-350＜0，

∴y随x增大而减小，

当x=7时，y取最大值，最大值为-350×7+63 000=60 550．

答：安排7名工人采摘蓝莓，13名工人加工蓝莓，才能使一天的收入最大，最大收入为60 550元．

点评：求一次函数最值的步骤：求出一次函数解析式；确定自变量的取值范围；根据函数的增减性确定最值．

例3某农场拟建一间矩形种牛饲养室.饲养室的一面靠墙（墙足够长），已知建筑材料可建围墙的总长为50m．设饲养室长为x（m），占地面积为y（m2）．

（1）如图2，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？

（2）如图3，现要求在图中所示位置留2m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大.小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了.”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．

图2

∴当x=25时，占地面积最大，

即饲养室长x为25m时，占地面积y最大.

∴当x=26时，占地面积最大，

即饲养室长x为26m时，占地面积y最大.

∵26-25=1≠2，

∴小敏的说法不正确．

点评：列出二次函数的表达式，将其配成顶点式，根据自变量的取值范围确定最值．

三、生活中的函数图象

例4某市规定每月用水18立方米以内（含18立方米）和用水18立方米以上两种不同的收费标准．某用户每月应交水费y（元）是用水量x（立方米）的函数，其图象如图4所示．

（1）若某用户某月用水量为18立方米，则应交水费多少元？

（2）当x＞18时，求y关于x的函数表达式，若小敏家某月交水费81元，则这个月用水量为多少立方米？

解：（1）由图4可知，月用水量18立方米，交水费45元.

（2）由81元＞45元，所以用水量超过18立方米，

设y=kx+b（x≥18），

∵ 直线经过点（18，45），（28，75），

图4

∴y关于x的函数解析式为y=3x-9（x≥18），

当y=81时，3x-9=81，解得x=30.

答：这个月用水量为30立方米．

点评：本题的函数图象是以分段方式呈现的，称作分段函数．解这类问题，要注意几个方面：（1）寻找函数的分段点；（2）对每一段函数关系，求出解析式；（3）利用解析式解决相关问题．

四、生活中的函数说理

图5

例5甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图5，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y=a（x-4）2+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．

（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为的Q处时，乙扣球成功，求a的值．

∵1.625＞1.55，

∴此球能过网.

点评：利用二次函数解决抛物线型的球类运动、隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地建立平面直角坐标系，把这些实际问题中的数据转化为抛物线上的点，从而确定抛物线的解析式，利用解析式去解决问题，或进行判断说理．