初中数学中的几何最值问题的探究

汪振方

【摘 要】运动着的车、船、飞机，包括人们每天走路都要遇到几何中的最值问题.古今中外的任何旅行者总希望寻求最佳的旅行路线，尽量走近道，少走冤枉路.我们把这类求近道的问题统称最短线路问题.从某种意义上说，一笔画问题也属这类问题.看来最短线路问题在生产、科研和日常生活中确实重要且应用广泛.

【关键词】最值问题 解决方法 探究

唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题.

如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后，再到B点宿营.请问怎样走才能使总的路程最短？

在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题，同样在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件下变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，也是我们要讨论的最值问题。

解决问题：如图2所示，从A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线取A关于河岸的对称点A′，连结A′B，与河岸线相交于C，则C点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到C，饮马之后，再由C沿直线走到B，走的路程就是最短的.

如果将军在河边的另外任一点C′饮马，所走的路程就是AC′+C′B，但是，AC'+C'B=A'C'+C'B>A'B=A'C+CB=AC+CB. 可见，在C点外任何一点C'饮马，所走的路程都要远一些.

这有几点需要说明的：

（1）由作法可知，河流l相当于线段AA'的中垂线，所以AD=A′D。

（2）由上一条知：将军走的路程就是AC+BC，就等于A′C+BC，而两点确定一条直线，所以C点即为所求。

变式题：（请同学们自己画图）若A、B两点分别在河流L的两侧，在河流L上取一点P使|PAPB|的值最大。

解决问题：作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B并延长交直线l于P，则PA=PA′，因而|PAPB|=|PA′PB|，则当A′，B、P在同一条直线上时，|PAPB|的值最大.

如果在河边的另外任取一点异于点P的点P′，则P′A=P′A′，因而|P′AP′B|

=|P′A′P′B| A'B=|PA′PB|=|PAPB|，

可见，在P点外任何一点P'，都有|P′AP′B||PAPB|，也就是|PAPB|

的值最大。

最值问题的解决方法通常有两种：

（1）应用几何性质：

①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

②两点间线段最短；

③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

④定圆中的所有弦中，直径最长。

（2）运用代数证法：

①运用配方法求二次函数或二次三项式的最值；

②运用一元二次方程根的判别式。

例如：在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.

（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；

（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.

分析：（1）由于C、D是定点，则CD是定值，如果△CDE的周长最小，即DE+CE有最小值.为此，作点D关于x轴的对称点D'，当点E在线段CD′上时，△CDE的周长最小；

（2）由于DC、EF的长为定值，如果四边形CDEF的周长最小，即DE+FC有最小值.为此，作点D关于x轴的对称点D'，在CB边上截取CG=2，当点E在线段D′G上时，四边形CDEF的周长最小.

解：（1）如图1，作点D关于x轴的对称点D'，连结CD'与x轴交于点E，连结DE.若在边OA上任取点E'与点E不重合（如图2），连结CE'、DE'、D'E'.

由DE'+CE'=D'E'+CE'>CD'=D'E+CE=DE+CE，

可知△CDE的周长最小.

∵在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D为OB的中点，

∴BC=3，D'O=DO=2，D'B=6，

∵OE∥BC，

∴点E的坐标为（1，0）；

（2）如圖3，作点D关于x轴的对称点D'，在CB边上截取CG=2，连结D'G与x轴交于点E，在EA上截取EF=2，

∵GC∥EF，GC=EF，

∴四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF，又DC、EF的长为定值，

∴此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小.

∵OE∥BC，

点评：此题是2010年天津市中考数学试卷第25题，主要考查轴对称——最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边.

总之，在解答这种题目时一定要审清题目意思，注意条件，采用哪一个几何性质或定理，以及如何建立变量的函数关系式。题目千千万，关键是要学会总结，要培养良好的解题习惯及数学思维能力。