细菌种群模型中一类迁移算子的谱问题

(1.上饶师范学院，江西 上饶 334001；2.南昌大学 数学系，江西 南昌 330031)

本文研究了以下一类具结构化的细菌种群模型:

(1)

其中h(v)表示速度权重因子,表示由细菌成熟度u∈(0,1)和细菌成熟速度u∈(a,b)(0≤a

(2)

在生物学上,每一有丝分裂时，子细菌被看成细菌种群的一部分,它们之间存在相互关系k(u′,v,v′),在数学上表示为下列一般边界条件:

(3)

这里常数α,β≥0表示每一有丝分裂子细菌的平均数。

模型(1)-(3)是由M.Boulanouar在文献[1-2]中提出的,它是以种群细菌的成熟度和成熟速度为特征提出的另一类迁移方程,称为具结构化的细菌种群模型。文献[1-2]仅在L1空间和具总转换规则(即边界条件(3)中α=0)的条件下,文献[1]得到了该模型相应的迁移算子生成正不可约C0半群,文献[2]在文献[1]的基础上讨论了该模型的解在一致算子拓扑意义下的渐近行为等结果;文献[3-4]对本文的具结构化的细菌种群模型(1)-(3)进行了研究,文献[3]讨论了这类模型生成半群的Dyson-phillips展式的9阶余项R9(t)在L1空间上是弱紧的和在Lp(1

1 空间与算子

它们分别按范数

和

构成Banach空间，且定义Y=L1(J,h(v)dv)为迹空间，其范数:

边界空间为：

X0=L1({0}×(a,b);h(v)dv),X1=L1({0}×(a,b);h(v)dv).

下面定义边界算子H为：

且φ0=φ(0,v)，φ1=φ(1,v)。设Streaming算子T和碰撞算子K及迁移算子A如下:

D(T)={φ∈W|φ0=Hφ1},

A=T+K，D(A)=D(T).

其中h(v)为有界可测函数，且满足

假设

其中α(·)∈L([0,1],du)，f(·),g(·)∈L1([a,b],dv)。

令σ0=essinf{σ(u,v)}。对φ∈X,λ∈C,ψ∈D(T)，考虑方程

(λ-T)ψ=φ

(4)

则∀λ:Reλ>-σ0，方程(4)可形式的解为：

(5)

取u=1，则(5)式为：

(6)

根据(5)式和(6)式引入如下算子：

则∀λ:Reλ>-σ0，算子Pλ,Qλ,Dλ和Eλ都是有界正的[3]，从而(6)式和(5)式分别为：

ψ1=PλHψ1+Dλφ

(7)

ψ=QλHψ1+Eλφ

(8)

令

则当Reλ>λ0时，有

‖PλH‖<1

(9)

从而算子(I-PλH)-1存在，所以

ψ1=(I-PλH)-1Dλφ

(10)

ψ=QλH(I-PλH)-1Dλφ+Eλφ

(11)

故有

(12)

(13)

2 主要结果

引理2.1[3,6]设T是Banach空间X上半群U(t)的生成元,K为X上的有界算子,若存在m∈N和η>ω(U)满足:

(λI-T)-1[K(λI-T)-1]m是弱紧的(∀λ:Reλ≥η)，

则R2m+1(t)(∀t>0)在X上是弱紧的。

引理2.2[6-7]设(Ω,Σ,u)正可测空间，S,T是(Ω,u)上的有界算子，若T是(弱)紧算子，且0≤S≤T，则S是(弱)紧算子。

设

引理2.3[3]∀t>0,n∈N，则

(14)

其中

(15)

(16)

定理2.4 假设(O)成立,边界算子H=H1+H2,Hi≥0(i=1,2),则H1和H2分别为X上的有界算子和弱紧算子。

证明因为边界算子H=H1+H2,Hi≥0(i=1,2)，显然H1有界，又因为

其中

则

由于

是一个秩一算子,由此可知H2在X上是收敛于一个秩一算子，故可知H2为X上弱紧算子。

故本定理获证。

设Γ0={λ∈C|Reλ>λ0},Γs={λ∈C|λ0

定理2.5 若假设(O)成立,r∈[0,1)，则

(17)

在Γω={λ∈Reλ≥λ0+ω}(ω>0)上一致收敛。从而σ(A)右半平面上仅由有限个具有限代数重数的离散本征组成。

证明由文献[3,定理3.1]知(17)式在Tω上一致收敛,又由文献[3,定理3.2-3.3]知:迁移半群(V(t))t≥0的Dyson-phillips展式的余项R9(t)在X上是弱紧的,从而迁移算子A的谱σ(A)在右半平面上仅由有限个具有限代数重数的离散本征组成。

参考文献：

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[2] BOULANOUAR M.Mathematical analysis of structured bacterial population with aggregate transition rule(II)[J].Journal of Computational and Theoretical Transport,2015,44(2)：69-93.

[3] 王胜华.具结构化的细菌种群中迁移半群余项的紧性问题[J].应用泛函分析学报，2017,19(1):6-15.

[4] 王胜华,程国飞.具结构化的细菌种群模型解的渐近行为[J].数学物理学报,2018,38(1):156-167.

[5] LATRACHA K,MEGDICHE H.Time asymptotic behaviour for Rotenberg's model with maxwell boundary conditions[J].Discrete and continous dynamical systems.2011,29(1): 305-321.

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