交换环的w-弱finitistic维数的注记

李 庆

(西南民族大学计算机科学与技术学院，四川 成都 610041)

1 引言及准备知识

Glaz和Vasconcelos在文献[1]中引入了semi-divisorial模的定义.semi-divisorial模推广了divisorial模和内射模.Wang和McCasland在文献[2]中改进了semi-divisorial模，并定义了semi-divisorial包络(即w-包络)，形成了w-算子.这一算子在乘法理想理论和模理论中有重要的应用.文献[3-7]成功地将w-算子运用到内射模、平坦模和投射模的研究中.另外，Prufer整环在经典的理想理论中发挥着举足轻重的作用.从同调代数的角度看，Prufer整环就是弱整体维数小于等于1的整环.Wang和Qiao在文献[4]中利用w-算子给出了交换环上w-平坦维数和w-弱整体维数w-w.gl.dim(R)的定义，并证明了PvMD实际上就是w-w.gl.dim(R)≤1的整环.众所周知，PvMD是Prufer整环的一类重要推广的整环.以此为启发，利用w-算子引入交换环上w-投射维数的概念并研究它的应用.

恒设R是具有单位元的交换环，E(M)是R-模M的内射包.设J是R的理想.根据文献[8]，如果J是R的有限理想且自然同态φ:R→J*＝HomR(J，R)同构，则称J是R的GV-理想.R的GV-理想的集合记为GV(R).实际上，GV(R)是环R的理想乘法系.定义torGV(M)＝{x∈M｜存在J∈GV(R)使得Jx＝0}.易知torGV(M)是M的子模.称R-模M为GV-挠模(或GV-无挠模)，是指torGV(M)＝M(torGV(M)＝0).

注意，R-模M是GV-挠模当且仅当对任意的m∈w－Max(R)，Mm＝0.w－Max(R)记为R的所有极大w-理想集合.称GV-无挠R-模M是w-模，是指对任意的J∈torGV(R)，E(，M)＝0.对任 意 的 GV-无 挠R-模M，Mw＝{x∈E(M存在J∈GV(R)使得Jx⊆M}是包含M的E(M)的w-子模，称为M的w-包络.显然，GV-无挠R-模M是w-模当且仅当Mw＝M.更多关于w-模的性质和所涉及的概念和术语请参见文献[8-13].

2 w-投射维数

设M，N是R-模，f:M→N是R-模同态.根据文献[10]，称f是w-单同态(或w-满同态或w-同构)，是指对任意的m∈w－Max(R)，fm:Mm→Nm是单同态(或满同态或同构).模同态序列A→B→C是w-正合列，是指对任意的m∈w－Max(R)，模同态序列Am→Bm→Cm是正合列.R-模M是有限型模，是指存在w-正合列F→M→0，其中F是有限生成自由R-模.R-模M是有限表现型模，是指存在w-正合列F1→F0→M→0，其中F1，F0是有限生成自由R-模.由文献[14]，R-模M是w-平坦模，是指对任意的w-单同态f:A→B，1⊗Rf:M⊗RA→M⊗RB是w-单同态.显然，平坦模和GV-无挠模都是w-平坦模.令由文献[3]，R-模M是w-投射模，是指对任意无挠的w-模N，Ext1R(L(M)，N)是GV-挠模.下面给出w-投射分解和w-投射维数的定义.

定义2.1 设M是R-模，如果有w-正合列…→Pn→Pn－1→…→P1→P0→M→0，其中Pi都是w-投射模，则称该w-正合列是R-模M的w-投射分解.

定义2.2设M是R-模，如果有w-投射分解…→Pn→Pn－1→…→P1→P0→M→0，则称M有有限的w-投射维数.并通俗地说M有长度不超过n的w-投射分解.当有有限的w-投射维数时，M的最短的投射分解的长度称为M的w-投M射维数，用wpdR(M)表示.如果M没有有限长度的w-投射分解，则记w－pdR(M)＝∞.

显然，若M有一个长度为n的w-投射分解，则有w－pdR(M)≤n.

w－pdR(M)＝0当且仅当M是w-投射模.因为投射模是w-投射模，正合列是w-正合列，因此wpdR(M)≤pdR(M).

定义2.3设M是R-模，如果有w-正合列0→Pn→Pn－1→…→P1→P0→M→0，其中Pi都是有限型的w-投射模，则称M有有限w-投射分解.此时显然有w－pdR(M)＜∞.

注若M有有限w-投射分解，则M是有限表现型模.实际上，若M有有限w-投射分解0→Pn→Pn－1→…→P1→P0→M→0，则对任意m∈w－Max(R)，由文献[3]中 Theorem2.5有正合列0→(Pn)m→(Pn－1)m→…→(P1)m→(P0)m→Mm→0，其中(Pi)m是有限生成自由模，i＝0，1，2，…，n.故M是有限表现型模.

定义2.4设R是交换环，令w－fPD(R)＝sup{w－pdR(M)有有限w－投射分解}称之为R的w-弱 finitistic维数.

定理2.5下列命题等价:

(1)w－fPD(R)＝0；

(2)若0→K→P→F→0是w-正合列，其中K，P是有限型的w-投射模，则F是有限表现型的w-投射模.

(3)若M有有限w-投射分解，则M是w-投射模.

证明(1)⇒(2)设w－fPD(R)＝0.因0→K→P→F→0是w-正合列，其中K，P是有限型的w-投射模，故F有有限w-投射分解.由于w－fPD(R)＝0，于是w－pdRF＝0，从而F是w-投射模.由文献[3]中Theorem2.5，对任意m∈w－Max(R)有正合列0→Km→Pm→Fm→0是正合列，其中Km，Pm是有限生成自由模，故F是有限表现型模.

(2)⇒(1)设M有有限w-投射分解，不妨设w－pdRM＝n＜∞，故存在一个w-正合列故对任意m∈w－Max(R)有正合列令是w-正合列，这里Pn，Pn－1都是有限型的w-投射模 . 因此，Kn－2是有限表现型的w-投射模 . 故 0 →Kn－2→Pn－2→…→P1→P0→M→0是M的有限w-投射分解.从而w－pdRM≤n-1＜n，矛盾.故w－fPD(R)＝0.

(1)⇔(3)直接由w-弱finitistic维数的定义可得结论.证毕.

由文献[3]中Theorem 2.5和文献[14]中Theorem3.3可知，w-投射模是w-平坦模，反之，不成立.但是以下结论成立.

定理2.6有限表现型的w-平坦R-模M是w-投射模.

证明对任意m∈w－Max(R)，Mm是有限表现型的平坦模.于是Mm是投射的Rm-模，从而Mm是自由模.由文献[3]中Theorem 2.5，M是w-投射模.证毕.

既然w-投射模是w-平坦模，因此w－fdRM≤wpdRM.

记f－Mod(R)＝{R－模M｜M有有限w－投射分解}.

命题2.7设M∈f－Mod(R)，n是一非负整数.则有

w－pdRM≤n当且仅当对任意m∈w－Max(R)，pdRmMm≤n.

证明(1) 设0→Pn→Pn－1→…→P1→P0→M→0是M的一个有限w-投射分解，则对任意m∈w－Max(R)，0→(Pn)m→(Pn－1)m→…→(P1)m→(P0)m→Mm→0是正合列.由文献[3]中Theorem2.19，有限型的w-投射模是是有限表现型的，故P0，…，Pn是有限表现型的 .由文献[3]中 Theorem2.8，Pi是w-投射模当且仅当对任意m∈w－Max(R)，(Pi)m是投射模.于是，w－pdRM≤n当且仅当对任意m∈w－Max(R)，pdRmMm≤n.

(2)直接由(1)可得结论.证毕.

显然，w－fPD(R)＝sup{w－pdR(M)｜M∈f－Mod(R)}＝sup{pdRm(Mm)｜m∈w－Max(R)，M∈f－Mod(R)}.

3 某些环上w-弱finitistic维数的应用

由文献[10]，R-模M是w-凝聚模，是指M是有限型模，且M的每个有限型模都是有限表现型的.环R是w-凝聚环，是指R作为R-模是w-凝聚模.

定理3.1设R是w-凝聚环，M是有限表现型模，则M有w-投射分解…→Pn→Pn－1→…→P1→P0→M→0，其中Pi是有限型的w-投射模，i＝0，1，….

证明由文献[10]中Theorem 2.1，存在一个w-正合列0→K0→P0→M→0，其中P0是有限生成投射模，K0是有限型模.于是，对任意m∈w－Max(R)，0→(K0)m→(P0)m→Mm→0是正合列，其中(P0)m是自由模，(K0)m是有限生成的.因R是w-凝聚环，故对任意m∈w－Max(R)，Rm是凝聚环.因(K0)m是自由模(P0)m的有限生成子模，故(K0)m是有限表现型模.下证K0是有限表现型模.由于K0是有限型模，所以存在一个w-正合列0→I0→F0→K0→0，其中F0是有限生成自由模，I0是F0的子模.因此，对任意m∈w－Max(R)，0→(I0)m→(F0)m→(K0)m→0是正合列.因(K0)m是有限表现型模，(F0)m是有限生成自由模，故(I0)m是有限生成模.因Rm是凝聚环，于是(I0)m是有限表现模.因此，存在一个正合列(F1)m→(I0)m→0，其中F1是有限生成自由R-模.从而有正合列(F1)m→(F0)m→(K0)m→0，于是F1→F0→K0→0是w-正合列，其中F0，F1都是有限生成自由R-模.因此，K0是有限表现型模.类似地，存在一个w-正合列0→K1→P1→K0→0，其中P1是有限生成投射模，K1是有限表现型模.因此，有如下正合列0→(K0)m→(P0)m→Mm→0和0→(K1)m→(P1)m→(K0)m→0.从而有正合列0→(K1)m→(P1)m→(P0)m→Mm→0，于是0→K1→P1→P0→M→0是w-正合列.继续以上过程，于是存在一个w-正合列…→Pn→Pn－1→…→P1→P0→M→0，其中Pi是有限生成投射模，从而Pi是有限型的w-投射模，i＝0，1，….证毕.

从定理3.1证明过程中可知存在一个w-正合列0 →Kn－1→Pn－1→ … →P1→P0→M→0 ，其中P0，…，Pn－1是有限生成投射模，Kn－1是有限表现型模.

定理3.2设R是w-凝聚环，M是有限表现型模，则w－fdR(R)＝w－pdR(R).

证明只需证明w－pdR(R)≤w－fdR(R).设w－fdR(R)＝n.由定理3.1，存在一个w-正合列0→Kn－1→Pn－1→ … →P1→P0→M→0 ，其中P0，…，Pn－1是有限生成投射模，Kn－1是有限表现型模.由文献[4]中 Proposition 2.3，Kn－1是w-平坦模 . 由定理2.5，Kn－1是w-投射模 . 于是

w－pdR(R)≤n.从而w－pdR(R)≤w－fdR(R).

证毕.

回顾w-模M是w-Noether模，是指M满足M的w-子模的升链 条件.环R是w-Noether环，是指R作为R-模是w-Noether模.众所周知，w-模M是w-Noether模当且仅当M的每个子模都是有限型的.

根据文献[15]，环R是w-半遗传环，是指R的每个有限型理想都是w-投射理想.注意，若环R是w-半遗传环，则对任意m∈w－Max(R)，Rm是半遗传环.实际上，假设Im是Rm的有限生成理想，其中I是R的有限生成理想.由文献[12]中Theorem4.11，I是w-投射理想，从而由文献[3]中Theorem 2.4，Im是Rm的投射理想.于是Rm是半遗传环.

推论3.3设环R是w-Noether环，M是有限型的，则w－fdR(R)＝w－pdR(R).

证明 若R是w-Noether环，则有限型的R-模是有限表现型的.既然w-Noether环是w-凝聚环，由定理3.2直接得出结论.证毕.

定理3.4设R是w-半遗传环，则w－fPD(R)≤1.

证明设M∈f－Mod(R)，则M是有限表现型的.由文献[15]，w-半遗传环是w-凝聚环.由定理3.1，存在一个w-正合列0→K→P→M→0，其中P是有限生成投射模，K是有限表现型模.于是，对任意m∈w－Max(R)，0→Km→Pm→Mm→0是正合列，其中Pm是有限生成自由模，Km是Pm的有限生成子模.因Rm是半遗传环， 故Km是投射模.由文献[3]中Theorem 2.8，K是有限型的w-投射模.因此，w－pdR(M)≤1，从而w－fPD(R)≤1.证毕.

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