近世代数课程的教学探讨

周潘岳 何婧

【摘 要】 近世代数课程教学在内容上要注重抓主线和知识的应用价值，加强与高等代数相关知识的联系；在教学方法上要以具体实例引入课堂，联系前后知识形成知识系统，引发和鼓励学生主动学习的热情。

【关键词】 近世代数；教学内容；教学方法

近世代数也称为抽象代数是数学与应用数学专业一门非常重要的专业必修课，其特点是高度抽象，逻辑性强，推理严谨。学生普遍认为是一门难懂难学的课程，加之课程由大学三年一期开设，提前到二年一期，更加大了学习难度，导致很多学生苦不堪言。但是，如果降低难度和要求，学生就不能学到应有的知识，达不到教学的效果，抽象思维能力和逻辑推理能力也得不到应有的提高，这与我们的教学目标相违背。那么如何解决学生在学习过程中认为太抽象、难度大的问题，如何提高学生的学习兴趣，这给教师们提出了新的要求和挑战。本文结合近世代数课程教学的情况，以文献为例，[1]从以下方面，提出几点建议，以供读者参考。

一、教学内容方面

近世代数这门课程的内容涉及到大量抽象的概念、命题、定理和推论，对于刚接触到这门课程的学生来说，学习起来无疑是非常困难的，觉得内容枯燥乏味，更不用提对这门课程的兴趣。随着我国高等教育的改革，要满足当前社会发展的需要，必须在大学增加其它新的课程。相应的，专业教学计划做了相应的调整，压缩了课时。这样一来，想要详细的上完整本书所有的内容，这完全是不可能的。因此，上课教师应根据实际需求和其它课程安排，在不减少授课内容，保证教学质量的前提下，合理安排教学任务，调整教学节奏，激发学生的积极性和主观能动性。

1、抓主线，教内容

教材的内容主要包括群、环、域三个部分，这是近世代数最核心的内容。在教授这三个部分过程中要抓住主线，围绕这些主线进行系统的教学。例如，群的主线是群同态，它是保持运算的映射，揭示出两个群的某些共同性质，以此来区分两者的异同。有关群的内容都可以围绕群同态而展开；环的主线是理想；域的主线是域扩张。如果能够抓住这些主线，在实际教学中一定能达到事半功倍的效果。

2、注重知识的应用价值

近世代数是现代数学的一个非常重要的分支，它的基本内容是每一个数学工作者必须具备的理论知识。更重要的是，有些数学方法是很多领域的科技工作者必须掌握的，它为理论物理、分析化学、计算机科学、信息安全、通讯和密码学等提供了数学语言，这就是这门课程强大的生命力之所在。然而，很多教师在授课的时候压根就不谈应用，只讲证明，导致学生学习目的不明，不知为什么要学，学了有什么用，从而降低学生的学习兴趣，缺少学习动力。

教师应时刻把握时代发展的需求，特别是对近世代数在相关领域的发展要有所了解，将所讲内容联系到实际的应用。例如，当今社会信息安全越来越重要，它不仅涉及到政治、经济、军事和外交领域，与我们的日常生活也密切相关。信息安全最重要最核心的内容就是密码学，近世代数中有限域的内容就应用在密码学中，[2]通过讲述有限域在密码学中的应用能让学生体会到近世代数这门课程的魅力和应用价值，也很大程度上激发他们学习的兴趣。

3、加强与高等代数相关知识的联系

近世代数是高等代数的后续课程，有很多的概念和定理是高等代数中相关概念和定理的推广与延伸。所以，在讲解这些内容的时候，和学生一起回顾高等代数中的相关内容，引导学生找到它们的相似和不同之处。比如在讲授唯一分解多项式时，高等代数中讲授的不可约多项式可以认为是其中的一个特例。又比如在讲解域的时候，引导学生在高等代数的知识中去寻找域的具体例子，以便更好理解这些抽象概念。通过这样的方法学习概念，符合学生从感性认识到理性认识，从表面现象到概念的认识规律。让学生明白课程之间或学科之间是相互联系的，是一个有机的整体，也能激发和维持学生的学习兴趣。

二、教学方法与教学手段方面

1、以具体实例引入课堂

近世代数课程具有高度抽象，推理严谨，理论性强的特点，如果只是单纯讲授概念和定理，学生不知所云、枯燥乏味，大大影响教学效果。所以，在教学方法和内容上，教师需要特别注意激发学生的兴趣。在教学中，教师应该尽量地把抽象和难懂的问题讲得深入浅出，使学生容易理解和接受。在引出一个新的概念之前，教师尽量从具体的例子和问题出发，让学生有一个从直观到抽象的思维过程，这样可以让学生掌握基本概念的同时提高学生的抽象思维能力。

2、联系前后知识，形成知识系统

近世代数的知识点很多，学生在学习过程中难以掌握，对相似的知识点容易混淆。教师在教学过程中要注意及时总结相关知识，形成知识系统，同时对相似的概念和知识点进行区别。使学生不仅能准确掌握各知识点，也能从整体上掌握近世代数的基本知识和方法。

3、由教到引，引发学生的主动学习

指导学生阅读相关的教材，提高学生的自学能力。正如叶圣陶先生所说“所谓教师之主导作用，盖在于引导启迪，俾学生自奋其力，自致其知，非谓教师滔滔讲说，学生默默聆受。”正是我们说的启发式教学，教师在其中起画龙点睛的作用。在教学过程中，教师应该多鼓励学生上讲台，为学生提供锻炼的机会，激发学生的主观能动性，培养学生的自主学习、分析问题和解决问题的能力。

4、黑板板书与多媒体教学工具配合使用

在教学手段上，应该将传统的黑板板书与多媒体等现代信息技术手段相结合，将教学内容中那些思想简单、易于理解但繁琐的过程以PPT的形式向学生演示，而对逻辑推理较多的知识，采用黑板板书的形式进行推理。这样既可以节省大量书写时间，又能让学生掌握重要的思想方法，做到松紧得当，快慢适宜，有的放矢。

5、教师的鼓励是学生前进的动力

很多学生在学习近世代数的时候都感到受挫和茫然，此时教师的鼓励至关重要。任课教师也是他们在学习这门课程时最信任、最依赖的人。教师的期许有多高，学生在未来的道路上收获的成果就有多大。通过期待的眼神、激励人心的语言激发学生求知的欲望，提升学生学习这门课程的自信。记得一次期中考试，一位平时学习不认真的同学成绩很不理想，当试卷发下来之后，他沮丧的问我：“老师，我只考了30分，怎么办？”我拍拍他的肩膀说：“这次没考好不要紧，你很聪明，我相信只要你认真努力，一定能够学得好。”从那以后，这位同学一改以往学习态度，认真听课，成绩突飞猛进。

6、灵活多样的课后辅导与答疑

近世代数课程难度大，内容多，课堂时间有限，想利用课堂时间将内容完全掌握理解比较困难。老師的指导和帮助能让学生的课后练习与巩固有更好的效果。在科技发达的时代，对学生的指导已经不再仅局限于面对面的方式，可以使用各种交流手段灵活多样的辅导与答疑。例如，每周安排一个固定的时间进行面对面答疑，对于那种普遍存在的问题或者难度很大的习题，组织上一次习题课，也可以随时通过微信或QQ的视频通话进行解决等等。虽然教材的练习题多，难度也很大，但通过这样形式多样，时间自由的辅导答疑方式，学生学起来就轻松很多，他们的学习兴趣也就上去了，还能引发学生对很多相关问题的思考。同时，老师通过学生提问情况能及时了解学生的学习情况，有助于更好的教学，做到有的放矢，实现双赢的局面。

三、结语

教学的实践表明，近世代数的课堂教学一直存在或多或少的问题。如何上好一堂课，特别是像近世代数这么抽象的课程，需要花心思去摸索和实践。总而言之，如何使得课堂的教学焕发出新的活力，需要教师们继续努力，不忘初心，牢记使命，永不停息。

【参考文献】

[1] 裴定一，郭华光.近世代数[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2] Yann Laigle-Chapuy. Permutation polynomials and applications to coding theory. Finite fields and their applications[J]. 2007.13（1）58-70.

【作者简介】

周潘岳（1986-）男，湖南岳阳人，博士，湖南理工学院数学学院助理研究员，主要研究方向：代数表示论.