Lévy过程驱动的HJM框架下贴现债券价格的解

杜凤娇

(1.中国矿业大学 数学学院，江苏 徐州 221106；2.徐州工程学院，江苏 徐州 221008)

在布朗运动下,由HJM模型可以得到贴现债券价格的解.本文将布朗运动换成了Lévy过程(关于Lévy过程的详细介绍参见文献[1-2])，它在有限时段内可以有可列无限次跳跃,将模型进一步推广.利用Lévy过程下即期鞅测度方法得到了贴现债券价格过程满足的随机方程，并求出了贴现债券价格的解.使得在布朗运动下由HJM模型得到的贴现债券价格的解成为本文结论的特殊情况.

1 Lévy过程下HJM模型的即期鞅测度

选取现金债券作为计价单位，现金债券Bt满足

到期日为T的债券价格B(t,T)满足动态方程

dB(t,T)=B(t-,T)[a(t,T)dt+b(t,T)dYt].

Yt=cWt+Mt+αt为定义在带流概率空间(Ω,F,(Ft),P)上的一维Lévy过程的标准分解，其中W={Wt,0≤t≤T*}是一维标准布朗运动，M={Mt,0≤t≤T*}为纯跳跃Lévy过程，c和α是常数.假设对所有的h∈(-h1,h2)，0

整理得

dB(t,T)=B(t-,T)[(a(t,T)+αb(t,T))dt+cb(t,T)dWt+b(t,T)dMt].

定义贴现债券价格过程

则有

dZ*(t,T) =d[B(t,T)B-1(t)]

令

则

则

令

则

(1)

定义过程Zt：

其中ε(·)为Doleas-Dale指数半鞅[1].

则Zt是一个非负鞅，满足Z0=1.

(2)

或等价地写为：

定理1令Ρ*为FT上关于测度Ρ绝对连续的测度，定义即期鞅测度Ρ*满足:

2 即期鞅测度下贴现债券价格的解

在测度Ρ*下，贴现债券价格过程是一个鞅，并且满足方程：

dZ*(t,T)=-Z*(t,T)[σ*(t,T)cdWt*+σ*(t,T)dMt*]，

(3)

即

dZ*(t,T)=Z*(t-,T)[-σ*(t,T)cdWt*-σ*(t,T)dMt*].

由Dole′as-Dale公式

从而

(4)

该结果为布朗运动下由HJM模型所得结果，可以看作本章的特殊情况.

3 结论

本文构造了Lévy过程下HJM模型的即期鞅测度Ρ*，得到了在即期鞅测度Ρ*下贴现债券价格满足的随机方程

dZ*(t,T)=-Z*(t,T)[σ*(t,T)cdWt*+σ*(t,T)dMt*].

得到即期鞅测度下贴现债券价格的解

使得布朗运动下由HJM模型所得结果

成为本文的特殊情况.

参考文献：

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