复合型连带Legendre方程边值问题解的相似结构

李顺初，赵超超，桂钦民

(1.西华大学 理学院 应用数学研究所，四川 成都 610039；2.北京东润科石油技术股份有限公司，北京 100029)

在解决石油等领域的实际问题时，常常会涉及到微分方程.因此，研究微分方程解的内在规律，对于其求解过程的简化起着至关重要的作用.近年来，就有相关研究报告对其作出了肯定回答[1-10].罗梅等[11]讨论了一般连带型Legendre微分方程边值问题解的相似结构，本文对复合型连带Legendre方程的边值问题进行了研究，获得了其解的相似结构.

本文研究如下边值问题：

(1)

其中：a,b,c,D,E,F,G,H,α,β,m1,m2,μ1,μ2为已知实常数，且D≠0,G2+H2≠0,-1

1 主要定理及其证明

(2)

引理2关于二元函数

(3)

有：

(4)

(5)

(6)

其中i=1代表左区(a

证明根据第一、第二类连带Legendre函数的微分性质[13]：

(7)

(8)

即证得式(4)，同理可证式(5)、(6).

定理若边值问题(1)有唯一解，则其左区(a

(9)

右区(c

(10)

其中：Φ*(x)称为右区相似核函数，

(11)

Φ(x)称为左区相似核函数，

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

联立式(13)～(16)，求解出A1,A2,B1,B2,且根据边值问题(1)有唯一解得，对于待定系数A1,A2,B1,B2的线性方程组(13)～(16)的系数行列式Δ≠0,且

(17)

求解线性方程组(13)～(16)，知

(18)

(19)

(20)

(21)

将式(18)～(21)代入式(2)中，利用右、左相似核函数式(11)、(12)进行表达，即得到边值问题(1)的左、右区解分别为式(9)、(10).

推论1在边值问题(1)中，若右边界条件为y2(b)=0(即H=0，G≠0)，则对应的右相似核函数为

(22)

(23)

推论3边值问题(1)的解式(9)和其导数之间有如下性质：

(24)

2 相似构造法步骤

第六步：由式(10)，组装边值问题(1)的右(c

3 举例

求解下面的边值问题：

(25)

第三步： 根据式(11)，生成右相似核函数Φ*(x)：

第四步： 根据式(12)，生成左相似核函数Φ(x)：

4 结语

根据相似构造法的步骤可知，求解复合型连带Legendre 方程的边值问题时，首先通过连带Legendre方程的两个线性无关的解构造引解函数，其次由引解函数以及边界条件中的系数进行组装得到边值问题的解，可大大简化求解此类边值问题的运算步骤，达到事半功倍的效果，对解决石油等领域的问题有很大的帮助.

参考文献：

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